2021-2022学年福建省福州市福清县第一中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年福建省福州市福清县第一中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2] B． C．[2，+∞） D． 参考答案： B 【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（2，+∞）上恒成立．解出即可． 【解答】解：f′（x）=k﹣， ∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0在区间（2，+∞）上恒成立． ∴k≥， 而y=在区间（2，+∞）上单调递减， ∴k≥． ∴k的取值范围是：[，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 2. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（  ）   A．  B． C．  D． 参考答案： C 3. 已知函数f（x）=Asin（ωx+）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，f（x1）﹣f（x2）的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 参考答案： B 【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、ω的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[0，π]时f（x）的最大、最小值即可． 【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象知， f（0）=Asin﹣1=0，解得A=2， ∴f（x）=2sin（ωx+）﹣1； 又f（）=2sin（ω+）﹣1=1， ∴sin（ω+）=1， 根据五点法画图知， ω+=，解得ω=1， ∴f（x）=2sin（x+）﹣1； 当x∈[0，π]时，x+∈[，]， ∴sin（x+）∈[﹣，1]， ∴2sin（x+）∈[﹣1，2]， ∴2sin（x+）﹣1∈[﹣2，1]， 即f（x）∈[﹣2，1]； ∴对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2， f（x1）﹣f（x2）的最大值为1﹣（﹣2）=3． 故选：B．   4. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是 A.                B. C.             D. 参考答案： A 略 5. 已知为锐角，且＝,＝－,则＝ （A）     （B）     （C）     （D）以上答案都不对 参考答案： A 6. 已知满足，为导函数，且导函数 的图象如右图所示．则的解集是（   ） A.    B．   C.（0，4） D. 参考答案： B 7. 复数满足（a+3i）+（2-i）=5+bi，则a+b=（  ）. （A）-4 （B）7 （C）-8 （D）5 参考答案： D 略 8. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（    ）          A．                   B．                      C．                D．  参考答案： D 单调递增，且为非奇非偶函数，不成立。是偶函数，但在上递增，不成立。为偶函数，但在上不单调，不成立，所以选D. 9. 已知甲：x≥0 , 乙：|x-1|<1．则甲是乙的（    ） A．必要非充分条件              B．充分非必要条件． C．即不必要也不充分条件        D．充要分条件． 参考答案： A 10. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（　　） A． B．2 C． D．4 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】作出几何体的直观图，根据三视图中的数据计算体积． 【解答】解：几何体为大三棱锥P﹣ACD中切除一个小三棱锥P﹣ABD得到的几何体，直观图如图所示： 其中AD⊥CD，AD=4，BC=BD=1，PD⊥底面ABC，PD=2， ∴VP﹣ABC=S△ABC?PD==． 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过原点作曲线的切线，则切线的斜率为     参考答案： e 12. 如图，过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若=4，则=　　． 参考答案：   【考点】抛物线的简单性质． 【分析】分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1，利用相似三角形计算BB1，AA1即可得出AB=AA1+BB1． 【解答】解：分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A1，D，B1， 则DF=p=2，由抛物线的定义可知BF=BB1，AF=AA1， ∵=4，∴，∴BF=BB1=． ∴CF=4FB=6， ∴cos∠DFC=， ∴cos∠A1AC===，解得AF=3， ∴AB=AF+BF=3+=． 故答案为：． 　 13. 已知实数满足，则直线恒过定点    ，该直线被圆 所截得弦长的取值范围为       ． 参考答案： ； 考点：直线过定点的知识及直线截圆所得的弦长计算公式及运用． 14. 已知向量平行，则m=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】平行向量与共线向量． 【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用． 【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可． 【解答】解：向量平行， 可得﹣2m=1，解得m=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力． 15. 如果向量 与共线且方向相反，则       参考答案： -2 16. 若关于x的不等式(组)对任意恒成立，则所有这样的解x构成的集合是           ． 参考答案： 略 17. 将三条侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过“直角三棱锥”的“直角顶点”及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质： （1）斜边的中线长等于斜边边长的一半； （2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； （3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1. 写出直角三棱锥相应性质（两条） （i）                           ；  （ii）                      参考答案： 答案:（1）斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；      （2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；   （3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. “地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目．经测算，该项目处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数可以近似的表示为：，且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴． （1）当x∈[200，300）时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获得，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损； （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用． 【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； （2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论． 【解答】解：（1）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则S=200x﹣（x2﹣200x+80000）=﹣（x﹣400）2， ∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利 当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损； （2）由题意知，食品残渣的每吨的平均处理成本为 ①当x∈[120，144）时，，∴当x=120时，取得最小值240； ②当x∈[144，500）时， 当且仅当，即x=400时，取得最小值200 ∵200＜240 ∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 【点评】本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式． 19. （本小题共l2分） 过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q． （I）当直线过椭圆右焦点时，求线段CD的长； （II）当点P异于点B时，求证：为定值． 参考答案： （Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．…2分 椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得 ，所以       ，故．………………6分 （Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符． 设直线的方程为．代入椭圆方程得． 解得，代入直线的方程得， 所以D点的坐标为．.....9分ks5u 又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又．所以． 故为定值．………………12分 20. 某汽车厂生产A、B两类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种，某月产量如表：   轿车A 轿车B 舒适型 100 x 标准型 300 400     按分层抽样的方法在该月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车20辆。 (1) 求x的值； (2) 用分层抽样的方法在B类轿车中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2 辆，求至少有一辆舒适轿车的概率。 参考答案： 21. （本小题满分12分） 已知数列有，（常数），对任意的正整数，，且满足. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）试确定数列是否是等差数列？若是，求出其通项公式；若不是，说明理由. 参考答案： 解：（Ⅰ）在中，令得：于是-----------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴当时， 即。 故-------------------------------------------------------------------10分 所以时，，此时（常数）。 数列为等差数列-------------------------------------------------------------------------------12分 22. （本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1．记点M的 轨迹为C. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）设斜率为的直线过定点. 求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 参考答案： （Ⅰ）设点，依题意得，即， 化简整理得.   故点M的轨迹C的方程为  （Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，. 依题意，可设直线的方程为 由方程组  可得     ① （1）当时，此时 把代入轨迹C的方程，得. 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. （2）当时，方程①的判别式为.         ② 设直线与轴的交点为，则 由，令，得.              ③ （ⅰ）若 由②③解得，或. 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点， 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. （ⅱ）若 或 由②③解得，或. 即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点. 当时，直线与有两个公共点，与没有公共点. 故当时，直