2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市方正综合高级中学高二数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市方正综合高级中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“对任意的正数，2x十≥l”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 2.  “xy=0”是“”的（    ） （A）充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件   (C) 充要条件                        (D)既不充分也不必要条件 参考答案： B 3. 在数列中，，且，则（   ）   A.            B.            C.            D. 参考答案： A 4. 设（其中为自然对数的底数），则的值为(     ) A．             B．                C．              D． 参考答案： C 略 5. 已知中，a=5, b = 3 , C = 1200 ,则sinA的值为（  ） A、    B、    C、      D、 参考答案： A 6. 直线mx+y－m+2=0恒经过定点（    ） A. (1,－1)   B. (1,2)    C. (1,－2)    D. (1,1) 参考答案： C 7. 在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值． 【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立； ②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0， ③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可． 【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7， 由正弦定理可知， ， 所以sinA=＞1，故错误； ②若三角形的三边的比是3：5：7， 根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α， 由余弦定理得：cosα==﹣， 则最大角为120°，故正确； ③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C， 则最大角为B或C所对的角， ∴cosB=＞0，得是＜x， cosC=＞0，得x＜． 则x的取值范围是，故正确； 故选：C． 【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角． 8. 设（，），（，），…，（，）是变量和的个样本点， 直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以 下结论中正确的是 Ａ．直线过点 Ｂ和的相关系数为直线的斜率 Ｃ．和的相关系数在0到1之间 Ｄ．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 参考答案： A 略 9. 双曲线的离心率大于，则(     ) A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率，推出不等式，即可求出m的范围． 【解答】解：双曲线的离心率大于， 可得，解得m＞1． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 10. 若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D．2 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【解答】解：∵焦点到渐近线的距离等于实轴长， ∴b=2a， ∴e2==1+=5、 ∴e= 故选A． 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出4个命题： （1）设椭圆长轴长度为,椭圆上的一点P到一个焦点的距离是,P到一条准线的距离是则此椭圆的离心率为 （2）若椭圆（,且为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为, 则为定值. （3）如果平面内动点M到定直线的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线. （4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，则FA1⊥FB1. 其中正确命题的序号依次是       .（把你认为正确的命题序号都填上） 参考答案： （2）（4） 略 12. 已知等差数列{an}的前n项和为，_____； 参考答案： 70 【分析】 设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式，结合可列出两个关于的二元一次方程，解这个二元一次方程组，求出的值，再利用等差数列的前项和公式求出的值. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：， 【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法，熟记公式、正确解出方程组的解，是解题的关键.本题根据等差数列的性质，可直接求解： ，.   13. 已知直线:和圆C:，则直线与圆C的位置关系为         ． 参考答案： 相切 14. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是____________。 参考答案： 略 15. 已知是关于的方程的两个实根，那么的最小值为     ，最大值为      . 参考答案： 0， 16. 某数列是等比数列,记其公比为,前项和为,若成等差数列,     ． 参考答案： -2 17. 数列的通项公式，前项和为，则            参考答案： 1006 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG． 参考答案： 【考点】平面与平面平行的判定． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面； （2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG． 【解答】证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1， ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1， ∴GH∥BC ∴B、C、H、G四点共面； （2）∵E、F分别为AB、AC中点， ∴EF∥BC ∴EF∥BC∥B1C1∥GH 又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点， ∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG ∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行 ∴平面EFA1∥平面BCHG． 19. （本题10分）已知抛物线C：，过原点O作抛物线C的切线使切点P在第一象限， （1）求k的值； （2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线C的另一个交点Q的坐标. 参考答案： 解：（1）设P（x0，y0）  或（舍） K= （2）垂线为y-1=-2（x-2） 即y=-2x+5 代入抛物线得   或 （舍） 与抛物线C的另一个交点Q 略 20. （本题20分） 已知, 为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为常数. (1)求点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？ (2)若, 点的轨迹为曲线,过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点中点为,直线(为坐标原点)的斜率为，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围. 参考答案： 解：（1）由得，若m= -1，则方程为，轨迹为圆； 若，方程为，轨迹为椭圆； 若，方程为，轨迹为双曲线。           --------8分 （2）当时，曲线C方程为，设的方程为：与曲线C方程联立得：， 设，则①，②， 可得，                ------14分 （3）由得代入①②得：③，④， ③式平方除以④式得：，而在上单调递增，，， 在y轴上的截距为b， =，故         ------20分 21. 下图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000.请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在） （1）求样本中月收入在的人数； （2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ （3）试估计样本数据的中位数.       参考答案： （1）月收入在的人数为2000；（2）月收入在的这段应抽20人；（3）样本数据的中位数为1750元.   略 22. 20名学生某次数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求a的值，并估计这20名学生的平均成绩； （Ⅱ）从成绩在[50，90）的学生中任选2人，求恰好有1人的成绩在[50，70）中的概率． 参考答案： 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的小长方形的面积之和为1，即可求得a的值，根据平均数的求法，即可求得这20名学生的平均成绩； （Ⅱ）[50，70）的学生有2人，[70，90）的学生有3人，分别求得在[50，90）的学生中任选2人可能发生的情况及恰好有1人的成绩在[50，70）的情况，根据古典概型概率公式，即可求得答案． 【解答】解：（Ⅰ）（2a+3a+7a+6a+2a）×20=20a×20=1，得， =41200a=103（分）， 这20名学生的平均成绩103（分）；                                … （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，[50，70）的学生有2人，记为：A，B；… [70，90）的学生有3人，记为：C，D，E； 在[50，90）的学生中任选2人，有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}；{C，D}，{C，E}；{D，E}，共10种情况．… 恰好有1人的成绩在[50，70），有：{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}，共6种情况． 记事件“恰好有1人的成绩在[50，70）”为A， 则．                                  …