2021年江西省吉安市井冈山大陇中学高一数学理期末试卷含解析

2021年江西省吉安市井冈山大陇中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的最小正周期π，为了得到函数的图象，只要将的图象（    ） A.向左平移个单位长度    B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度   D. 向右平移个单位长度 参考答案： A 2. 已知且，则锐角为 (    ) （A）    （B）    （C）    （D） 参考答案： C 略 3. 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ） A.       B.             C.         D. 参考答案： C 由“偶函数”条件，可以排除A，B；由“在区间上单调递减”可以排除D；故选C； 4. 在同一坐标系中，表示函数与的图象正确的是（    ） 参考答案： B 5. 将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（　　） A．y=sinx B．y=sin（4x+） C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x+） 参考答案： B 【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出． 【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2=sin（2x+），再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin（4x+）， 故选：B． 6. 方程在下面哪个区间内有实根（      ） A．(0,1)         B． (1,2)      C. (2,3)         D．(3,4) 参考答案： C 令，则在上单调递增，且图象是连续的， 又,,, 即， 由零点定理可知：的零点在内， 故选：C   7. 已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和取最大值的正整数n是        （   ） A、4或5      B、5或6       C、6或7        D、8 参考答案： B 略 8. 平面向量满足，当取得最小值时，（    ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 参考答案： A 【分析】 设；；，再利用坐标法和向量的数量积求解即可. 【详解】根据题意设；； 不妨设则，， 当时上式取最小值此时，. ， 故选：． 【点睛】本题考查坐标法和平面向量数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理能力. 9. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（　　） A．π B．π C．π D．8π 参考答案： C 【考点】球的体积和表面积． 【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的体积． 【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°， ∴AA1= ∴AA1=2， ∵BC=，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圆的半径R=1， ∴外接球的半径为=， ∴球的体积等于=π， 故选：C． 10. 已知函数，则的值是（     ）                    A . 9             B.              C.              D.  参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： 函数对称轴，最小值 令， 则恒成立，即在上. ， 在单调递增， ，解得，即实数的取值范围是   12. 设奇函数的定义域为,当时的图象，如右图，不等式的解集用区间表示为             ． 参考答案： 13. 某研究性学习小组要进行城市空气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为　　． 参考答案： 4 【考点】计数原理的应用． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【解答】解：由题意，丙组城市数为16，则： 用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，丙组中应抽取的城市数为：=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 14. 已知幂函数过点（4，2），则f（2）=　　． 参考答案： 考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 设幂函数f（x）=xα，把点（4，2）代入即可得出． 解答： 解：设幂函数f（x）=xα， 把点（4，2）代入可得2=4α，解得． ∴f（x）=． ∴f（2）=． 故答案为：． 点评： 本题考查了幂函数的定义，属于基础题． 15. 已知函数 它满足对任意的，则的取值范围是 参考答案： 16. 一个容量为的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25 ，则      参考答案： 120 17. 已知数列{an}的前n项和分别为Sn，若，，则{an}的通项公 式an =___________，满足不等式的最小正整数n=____________． 参考答案： ； 9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 参考答案： （1）3[KS；(2)3/2 19. 在函数的图象上有、、三点，它们的横坐标分别是，， （）. 记的面积为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 参考答案： （1）； （2）在上有实根， . 20. 一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议． 参考答案： 【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论． 方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案； 方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值． 最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案． 【解答】解：按方案一：如图，连OC，设， 在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx 在Rt△OAD中，，得， 则，设矩形ABCD的面积为y，则 y=ABBC==sin（2x+）﹣， 由得． 所以当，即时． 按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE． 设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα 在Rt△ONH中，，得， 则，设矩形EFGH的面积为S， 则S=2MEMN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）= 由，则，所以当，即时∵，即ymax＞Smax 答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好． 【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题． 21. 已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性，并证明. 参考答案： （1） 因为函数 是定义在区间 上的奇函数， 所以 ，所以 ．……………………………………3分 （2） 函数 在 上单调递增，证明如下： 任取, 且,则……………………………………………………………………4分 …………………………………………………………………………………………………7分 ………………………………………………………………………………………………………………………………………9分 , 且, …………………………………………………………………………11分 所以 ，函数 在 上单调递增……………………………………………………………………………………12分 22. 设两个不共线的向量的夹角为，且，. （1）若，求的值； （2）若为定值，点在直线上移动，的最小值为，求的值. 参考答案： 解：（1）因为，，，，   ……4分 所以  ………7分 （2）因点在直线上，故可设，            ………9分 则 =，             ………12分 当时，的最小值为，             ………14分 于是=，， 又，所以或.                              ………16分 略