2021年河南省南阳市邓州高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2021年河南省南阳市邓州高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设向量，满足，，若，则（     ） A．3     B．4    C．    D．1＋ 参考答案： B 2. 如果直线与直线平行，则实数a等于（ ） A. B. C. D. 参考答案： B 略 3. 设集合，，则（    ） A、       B、       C、      D、 参考答案： D 略 4. 设，则sinβ的值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：根据α、β的取值范围，利用同角三角函数的基本关系算出且cosα=，再进行配方sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的正弦公式加以计算，可得答案． 解答： 解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0）， 又∵，∴． 根据α∈（0，）且sinα=，可得cosα==． 因此，sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×﹣×（﹣）=． 故选：C 点评：本题给出角α、β满足的条件，求sinβ的值．着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识，属于中档题． 5. 过点P（1，2），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（　　） A．x+y﹣3=0或x﹣2y=0 B．x+y﹣3=0或2x﹣y=0 C．x﹣y+1=0或x+y﹣3=0 D．x﹣y+1=0或2x﹣y=0 参考答案： B 【考点】直线的截距式方程． 【分析】当直线经过原点时，可得直线方程：y=2x．当直线不经过原点时，可设直线方程为：x+y=a，把点（1，2）代入即可得出． 【解答】解：当直线经过原点时，可得直线方程：y=2x． 当直线不经过原点时，可设直线方程为：x+y=a，则a=1+2=3．可得直线方程为：x+y=3． 综上可得，直线方程为：x+y+3=0或2x﹣y=0． 故选：B． 6. 设a=log1.10.5，b=log1.10.6，c=1.10.6，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 参考答案： A 【考点】对数值大小的比较． 【分析】先利用函数的单调性比较a与b的大小，再利用中间量比较c与a、b大小． 【解答】解：因为对数函数y=log1.1x在（0，+∞）上单调递增，且0.5＜0.6＜1 所以a＜b＜0， 又c=1.10.6＞1， 所以a＜b＜c， 故选A． 【点评】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量（0、1）法． 7. 已知数列{an}首项为1，且满足，那么an等于 (　　) A、       B、         C、         D、 参考答案： A 8. 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（    ）. A.        B.                   C.          D.  参考答案： B 略 9. 已知集合，则A∩B= (    ) A. (1,2) B.(1,2] C.[2,+∞) D.[0,1) 参考答案： C 【分析】 先将选项化简，再求. 【详解】因为，或， 所以， 故选C. 10. 在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若,则角A等于(   ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数． 【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝sinB， ∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0。 ∴sinA＝.又∵△ABC为锐角三角形， ∴A∈，∴A＝。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则=              ． 参考答案： ． 由得，， 又，所以，所以． 12.     ▲    ，    ▲    . 参考答案： 1,2 ； .   13. 将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点 成中心对称，那么的最小值为________。 参考答案： 14. 函数的单调递减区间为________． 参考答案： 略 15. （5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为   ． 参考答案： 80 cm2 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积． 解答： 由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5， 所以S侧=4××8×5=80cm2． 故答案为：80cm2． 点评： 本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查计算能力，正确判断几何体的特征是解题的关键． 16. 已知且, 则__________．    参考答案： 略 17. （5分）已知f（x）=，则f（1）=          ． 参考答案： 3 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直线把f（x）中的x换为1，能求出f（1）的值． 解答： ∵f（x）=， ∴f（1）==3． 故答案为：3． 点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，，，． （Ⅰ）求tanα的值； （Ⅱ）求β的值． 参考答案： 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】（Ⅰ）根据向量的模长，求出的值，根据二倍角公式可得答案； （Ⅱ）利用构造的思想，求出sin（α﹣β）的值，构造tan（α﹣β），利用和与差公式即可计算． 【解答】解：（Ⅰ）∵，， ∴，即． ∵，∴， ∴，∴， ∴． （Ⅱ）∵， ∴﹣π＜α﹣β＜0， 又∵， ∴，∴tan（α﹣β）=﹣7， ． 又， ∴． 19. 已知f（x）=4sinωxsin（ωx+）﹣1（ω＞0），f（x）的最小正周期为π． （Ⅰ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值； （Ⅱ）请用“五点作图法”画出f（x）在[0，π]上的图象． 参考答案： 【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】（Ⅰ）先化简f（x），由周期可求ω，从而得f（x）解析式，再根据函数性质求出f（x）的最大值 （Ⅱ）用“五点法”可得f（x）的图象，注意x的范围 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=4sinωxsin（ωx+）﹣1=2sin2ωx﹣1+2sinωxcosωx=2sin（2ωx﹣） 由f（x）的最小正周期为π，得ω=1，所以f（x）=2sin（2x﹣）． 因为x∈[0，]，所以2x﹣∈[﹣，]， 故当2x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值2． （Ⅱ）由f（x）=2sin（2ωx﹣）知： 2x﹣ ﹣ 0 π x 0 π f（x） ﹣1 0 2 0 ﹣2 ﹣1 【点评】本题考查“五点法”作y=Asin（ωx+φ）的图象及函数的单调性，“五点法”作图是高考考查的重点内容，要使熟练掌握． 20. 已知函数是奇函数（a＞0且a≠1） （1）求m的值； （2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）由奇函数可得：f（﹣x）+f（x）=0，求出m的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可； （2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明． 【解答】解：（1）∵已知函数是奇函数（a＞0且a≠1）， ∴f（﹣x）+f（x）=0， ∴，即， ∴，即1﹣m2x2=1﹣x2，∴m2=1，解得m=±1． 又∵，∴m=1应舍去． 当m=﹣1时，f（x）=，其定义域为{x|x＜﹣1，或x＞1}关于原点对称，故适合． ∴m=﹣1． （2）当a＞1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，下面给出证明． 设1＜x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）== 而（1+x1）（x2﹣1）﹣（x1﹣1）（1+x2）=2（x2﹣x1）＞0，及（x1﹣1）（1+x2）＞0， ∴，又a＞1， ∴ ∴f（x1）＞f（x2）． 当0＜a＜1时，同理可证f（x）在区间（1，+∞）上单调递增． 【点评】掌握函数的奇偶性和单调性是正确解题的关键． 21. 设=（1+cos x，1+sin x），=（1，0），=（1，2）． （1）求证：（﹣）⊥（﹣）； （2）求||的最大值，并求此时x的值． 参考答案： 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模． 【分析】（1）由题意可得和的坐标，计算其数量积为0即可；（2）由题意可得的不等式，由三角函数的值域可得的最大值，开方可得所求． 【解答】解：（1）由题意可得=（cosx，1+sinx）， =（cosx，sinx﹣1）， ∴（）?（）=cos2x+sin2x﹣1=0， ∴（）⊥（） （2）由题意可得=（1+cosx）2+（1+sinx）2 =3+2（sinx+cosx）=3+2sin（x+）， 由三角函数的值域可知，当x+=2kπ+， 即x=2kπ+（k∈Z）时，取最大值3+2， 此时取最大值= 22. （12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（x?y）． （1）求证：f（x）﹣f（y）=； （2）若f（2）=﹣3，解不等式f（1）﹣f（）≥﹣9． 参考答案： 考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为，代入恒等式中，即可证明； （2）再利用f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，即可列出关于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式的解集． 解答： （1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy）， 将x代换为为，则有f（）+f（y）=f（?y）=f（x） ∴f（x）﹣f（y）=f（）； （2）∵f（2）=﹣3， ∴f（2）+f（2）=f（4）=﹣6，f（2）+f（4）=f（8）=﹣9 而由第（1）问知 ∴不等式f（1）﹣f（）=f（x﹣8） 可化为f（x﹣8）≥f（8）． ∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数， ∴x﹣8≤8且x﹣8＞0， ∴8＜x≤16 故不等式的解集是{x|8＜x≤16}． 点评： 本题考查了抽象函数及其应用，考查了利用赋值法求解抽象函数问题，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式，也就是将不等式进行合理的转化，利用单调性去掉“f”．属于中档题．