2021年广西壮族自治区玉林市大恩中学高三数学理期末试卷含解析

2021年广西壮族自治区玉林市大恩中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数的共轭复数为（    ） A．    B．    C．    D．    参考答案： B 2. 角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα＝－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ＝－2．对于下列结论：①P（－，－）；②＝ ；③cos∠POQ＝－；④△POQ的面积为，其中正确结论的编号是 A．①②③       B．②③④         C．①③④          D．①②④ 参考答案： D 略 3. 若，则|z|=（　　） A． B．1 C．5 D．25 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出． 【解答】解： ==，则|z|==1． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（　　） A．2017 B．2016 C．4034 D．4032 参考答案： D 【考点】函数的值． 【分析】根据函数的奇偶性求值即可． 【解答】解：f（x）===2+， 令g（x+）=，得g（x+）是奇函数， ∴f（）+f（）+…+f（）=2×2016=4032， 故选：D． 5. 已知a是实数，是纯虚数，则a＝(   ) A．1  B．－1  C.   D．－ 参考答案： A 6. 命题命题，则是成立的                   （    ）     A．充分不必要条件                      B．必要不充分条件      C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 7. 函数的图像大致为      参考答案： A 略 8. 如图，三棱锥的底面是正三角形，各条侧棱均相等，. 设点、分别在线段、上，且，记，周长为，则的图象可能是（    ） 参考答案： C 9. 命题一个直四棱柱底面为菱形；命题一个棱柱为正四棱柱，那么，是的（    ）条件 A充分且必要      B 必要而不充分      C充分而不必要       D既不充分也不必要 参考答案： B 略 10. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 参考答案： D 【分析】 利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，若，则，所以不正确； 对于B中，若，则与的关系不能确定，所以不正确； 对于C中，若，则与的关系不能确定，所以不正确； 对于D中，若，可得，又由，可得，所以是正确的． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线被圆截得的弦长为，则实数的值为            . 参考答案： 或 12. 已知直线与曲线切于点，则的值为__________. 参考答案： 略 13. 下列程序执行后输出的结果是S＝________. i＝1 S＝0 WHILE　i<＝50   S＝S＋i   i＝i＋1 WEND PRINT S END 参考答案： 1275 14. 若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为　　． 参考答案： 4 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可． 【解答】解：当x≥1时， =，即lnx=， 令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数， g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0， g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点． （结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．） 当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点， 综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个． 故答案为：4． 15. 设(2x2+1)5=a0+a1x2+a2x4+…+a5x10，则a3的值为　  　． 参考答案： 80 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由题意可得a3的值即为x6的系数，利用其通项公式即可得出． 【解答】解：由题意可得a3的值即为x6的系数， 故在的通项公式中， 令r=3，即可求得． 故答案为：80． 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差=            . 参考答案： 略 17. 已知集合，，若，则实数m=          ． 参考答案： 3 ,故 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=bsinx﹣ax2+2a﹣eb，g（x）=ex，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数． （1）当a=0时，讨论函数F（x）=f（x）g（x）的单调性； （2）求证：对任意a∈[，1]，存在b∈（﹣∞，1]，使得f（x）在区间[0，+∞）上恒有f（x）＜0． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到sinx+cosx﹣e＜0，从而求出函数的单调性即可； （2）问题转化为证明任意x∈[0，+∞），six﹣ax2+2a﹣e＜0，设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，结合三角函数的性质证明即可． 【解答】解：（1）a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e）， 则f′（x）=ex（sinx﹣e+cosx）， ∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e， ∴sinx+cosx﹣e＜0， 故f′（x）＜0， 则f（x）在R递减； （2）证明：当x≥0时，y=ex≥1， 要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0， 则只需证明任意x∈[0，+∞），six﹣ax2+2a﹣e＜0， 设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e， 看作以a为变量的一次函数， 要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0， 则，即， ∵sinx+1﹣e＜0恒成立， ∴①恒成立， 对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e， 则h′（x）=cosx﹣2x， 设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0， ∴t=＜，sint＜sin=， ∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）递增， 在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）递减， 则x=t时，h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e =sint﹣+2﹣e=+﹣e≤+﹣e=﹣e＜0， 故②成立， 综上，在区间[0，+∞）上恒有f（x）＜0． 19. 已知点A、B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为； （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M为直线AP与y轴的交点，线段AP的中垂线与x轴交于点N，若直线OP斜率为，直线MN的斜率为，且（O为坐标原点），求直线AP的方程. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）依题意表示出，，根据，和离心率为，求出的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线的斜率为，直线方程为，设，中点为，联立直线方程与椭圆方程，消去即可用含的式子表示、的坐标，即可表示出中垂线方程，求出的坐标，最后根据求出参数即可得解. 【详解】解：（1）依题意知：，，，，， 则，又，， 椭圆的标准方程为. （2）由题意，设直线的斜率为，直线方程为 所以，设，中点为， 由消去得 中垂线方程为： 令得. ， 解得. 直线的方程为， 即 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题. 20. 已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=﹣1的距离． （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；轨迹方程． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，由此能求出点M的轨迹C的方程． （Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解． （Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积． 【解答】解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y）， 由题意得，， 化简得y2=4x， 所以点M的轨迹C的方程为y2=4x． （Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则点P的坐标为． 由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0． △=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0． 因为直线l1与曲线C于A，B两点， 所以x1+x2=2+， y1+y2=k（x1+x2﹣2）=． 所以点P的坐标为． 由题知，直线l2的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k2，﹣2k）． 当k≠±1时，有， 此时直线PQ的斜率kPQ=． 所以，直线PQ的方程为， 整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0． 于是，直线PQ恒过定点E（3，0）； 当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）． 综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）． （Ⅲ）可求得|EF|=2， 所以△FPQ面积． 当且仅当k=±1时，“=”成立，所以△FPQ面积的最小值为4． 【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答． 21. 已知锐角中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且 （I）求角A的大小： （II）求的取值范围.   参考答案： 解析：解：(1) (2)   略 22. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4． （1）求C1和C2的方程； （2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由椭圆及抛物线的性质，列方程组求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程； （2）设直线方程，代入抛物线和椭圆方程，求得