2021年天津南开区第九中学高一数学文月考试卷含解析

2021年天津南开区第九中学高一数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知b，则下列不等式一定成立的是(     ) A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＞1 参考答案： D 【考点】对数函数的图像与性质． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可． 【解答】解：y=是单调减函数， ，可得a＞b＞0， ∴3a﹣b＞1． 故选：D． 【点评】本题考查对数函数的单调性以及指数函数的单调性的应用，考查计算能力． 2. 圆C1: 与圆C2:的位置关系是（   ） （A）外离         （B）相交              （C）内切      （D）外切 参考答案： D 略 3. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（  ） （A）             （B）    （C）        （D） 参考答案： B 4. 已知角且，则 cosθ﹣sinθ的值为（　　） A．﹣ B． C． D．± 参考答案： A 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】由题意可得θ为钝角，根据cosθ﹣sinθ=﹣，计算求得结果． 【解答】解：∵角且，∴θ为钝角， 则 cosθ﹣sinθ=﹣=﹣=﹣， 故选：A． 5. 若函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【分析】由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象． 【解答】解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f（﹣x）+f（x）=0 即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0 则k=1 又∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数 则a＞1 则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1） 函数图象必过原点，且为增函数 故选C 6. 已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（　　） A．π2﹣1 B．π2+1 C．﹣π D．0 参考答案： C 【考点】函数的值． 【分析】先求出f（﹣1）=，从而f（f（﹣1））=f（）=0，进而f（f（f（﹣1）））=f（0），由此能求出结果． 【解答】解：∵函数， ∴f（﹣1）=， f（f（﹣1））=f（）=0， f（f（f（﹣1）））=f（0）=﹣π． 故选：C． 7. 已知A={1，2，a2-3a-1},B={1,3},A{3,1}则a等于（    ） A．-4或1 B．-1或4 C．-1 D．4 参考答案： B 略 8. 函数的零点所在的大致区间是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 考点：函数的零点的判定. 9. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），由此能求出结果． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=， ∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2， ∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 10. 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为  （   ） ㈠我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ㈡我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ㈢我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A.（1）（2）（4） B.（4）（2）（3） C.（4）（1）（3）  D.（4）（1）（2） 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是　　　　　． 参考答案： ，或 12. 过点引一直线，使其倾斜角为直线的倾斜角的两倍，则该直线的方程是_________________.  参考答案： 略 13. 的零点个数为__________. 参考答案： 2 14. 方程的实数解的个数为 　  　． 参考答案： 2 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】将方程变为2﹣x=，方程的根即相关的两个函数的交点的横坐标，故判断方程实数解的个数的问题可以转化求两个函数y=2﹣x与y=的两个函数的交点个数的问题，至此解题方法已明． 【解答】解：方程变为2﹣x=， 令y=2﹣x与y=， 作出两函数的图象如图， 两个函数在（0，+∞）有两个交点， 故方程有两个根． 故应填  2． 15. 函数y＝的值域是            . 参考答案： [0,4) 恒大于0，所以  , , 又因为 为非负数，当 时，函数有最小值0 , 当x趋向于－∞时，y趋向于4， 函数的值域是 ，故答案为 .   16. 已知函数的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则m的最小值为________. 参考答案： 【分析】 先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值。 【详解】由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为。 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及 型的函数奇偶性判断条件。一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则。 17. 函数满足对任意成立，则a的取值范围是             .  参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn． （1）求Sn； （2）令 bn=（n∈N+），求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的前n项和． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得a1+2d=7，2a1+10d=26，即可得出． （2）==，利用裂项求和方法即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26， ∴a1+2d=7，2a1+10d=26， 联立解得a1=3，d=2， ∴{an}的前n项和为Sn=3n+=n（n+2）． （2）==， ∴数列{bn}的前n项和Tn=++…++ = =﹣． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 19. （本小题满分12分）下表是某中学对本校高中一年级男生身高情况进行抽测后所得的部分资料(身高单位：cm，测量时精确到lcm)．已知身高在160cm(含160cm)以下的被测男生共6人．     (1)求所有被测男生总数；     (2)画出频率分布直方图；     (3)若从l80．5～190．5两组男生中抽取2人参加某项比赛，求抽取2人中至少有1人身高超过185cm的概率．   参考答案： 解：（1）设所有被测男生总数为人，则 所有被测男生共100人。………………4分 （2）频率分布直方图如图：   ………………………………8分 略 20. 如图，在△ABC中，点P在BC边上，，，． （Ⅰ）求边AC的长； （Ⅱ）若△APB的面积是，求∠BAP的值． 参考答案： （Ⅰ）在中，设，则由余弦定理得： 即： 解之得： 即边的长为2 （Ⅱ）由（1）得为等边三角形 作于，则 ∴ 故 ∴在中，由余弦定理得： ∴在中由正弦定理得： ∴ ∴ 21. 如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4． （Ⅰ）求证：AF∥平面BCE； （II）求证：AC⊥平面BCE； （Ⅲ）求二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（I）由AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，得AF∥平面BCE．                                                                                                                （II）过C作CM⊥AB，垂足为M，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥BC；再证BE⊥AC，即可得到AC⊥平面BCE． （III∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角，在Rt△AFC中，求得二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值 【解答】解：（I）因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，     所以AF∥平面BCE．                                                                                                                （II）过C作CM⊥AB，垂足为M， 因为AD⊥DC所以四边形ADCM为矩形．所以AM=MB=2，又因为AD=2，AB=4所以AC=2，CM=2，BC=2 所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC； 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC， 又因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE． （III）∵FA⊥面ABCD，AC⊥BC，∴∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角，在Rt△AFC中，cos∠ACF= 二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值为 22. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱BB1的任一点． （1）求证：； （2）若正方体的棱长为a，求三校维的体积和表面积． 参考答案： （1）证明见解析；（2），. 【分析】 （1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）三棱维D1-ADC的体积，三棱维的表面积，由此能求出结果． 【详解】 （1）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱的任一点． ， ，平面， 平面，． （2）∵正方体的棱长为a， ∴三棱锥D1-ADC的体积： ． 三棱锥D1-ADC的表面积： ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积、表面积的求法，考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．