2021-2022学年湖南省益阳市沅江草尾镇联校高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年湖南省益阳市沅江草尾镇联校高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图：M（xM，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合． 【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期， 故xN﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合， 故选：C． 2. 已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足（    ） A．最大值为16     B．最小值为4     C．为定值8     D．与的位置有关 参考答案： C 略 3. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 表示的是可行域内的点与连线的斜率减去.画出可行域，求得斜率的取值范围，减去求得的取值范围. 【详解】表示的是可行域内的点与连线的斜率减去.画出可行域如下图所示，，，即与连线的斜率取值范围是，再减去得，故选B. 【点睛】本小题主要考查斜率型线性规划的目标函数取值范围的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 4. 已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:其中正确命题的个数是   (     )． ①若,则;②若,且则; ③若,则;④若,,且,则. A．1   B．2    C．3   D．4 参考答案： B 略 5. 已知全集U={a,b,c,d,e},A={c,d,e},B={a,b,e}，则集合{a,b}可表示为     （   ）        A．AB                 B．        C．        D． 参考答案： 答案：B  6. 已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是(     ) A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25） 参考答案： A 考点：分段函数的应用． 专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用． 分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围． 解答： 解：函数的图象如图所示， ∵f（x1）=f（x2）， ∴﹣log2x1=log2x2， ∴log2x1x2=0， ∴x1x2=1， ∵f（x3）=f（x4）， ∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10 ∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20， ∵2＜x3＜4，8＜x4＜10 ∴的取值范围是（0，12）． 故选：A． 点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 7. 设函数,则方程的实数解的个数为(    ) A.1       B.2    C.  3     D.4 参考答案： C 8. 已知△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，则=（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由条件便可得出AB⊥AC，O为斜边的中点，再根据，即可得出，进而得出的值，从而求出的值． 【解答】解：根据条件，AB⊥AC，O为BC中点，如图所示： ； ∴△ABO为等边三角形，，，，； ∴． 故选A． 9. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的         （    ）     A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件     C．充分必要条件                         D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 10. 函数的单调递减区间为(       )    A (kπ－,kπ－]       B (kπ－,kπ＋)    C (kπ－,kπ－)     D  [kπ－,kπ＋) 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的最小正周期=          ． 参考答案： 2π 12. 已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________． 参考答案： 1928 13. 已知a，b，c∈R，且，则的最小值是_______. 参考答案： 14. 设等比数列{an}的公比q=y,前n项和为Sn,则=________. 参考答案： 63 略 15. 已知实数x，y满足，则的最大值是__________． 参考答案： 由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点,则当过原点的直线过点时，斜率最大，即的最大值为. 16. 从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是　　 参考答案： 略 17. 定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当的取值范围是      ． 参考答案： [﹣，1] 考点： 奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用线性规划的知识即可求得结果． 解答： 解：把函数y=f（x）向右平移1个单位可得函数y=f（x﹣1）的图象 ∵函数y=f（x﹣1）得图象关于（1，0）成中心对称 ∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）成中心对称，即函数y=f（x）为奇函数 ∵f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）=f（t2﹣2t）且函数y=f（x）在R上单调递减 ∴S2﹣2S≥t2﹣2t在S∈[1，4]上恒成立 即（t﹣s）（s+t﹣2）≤0 ∵1≤s≤4 ∴﹣2≤2﹣s≤1，即2﹣s≤s ∴2﹣s≤t≤s 作出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的△ABC，C（4，﹣2） 而表示在可行域内任取一点与原点（0，0）的连线的斜率，结合图象可知OB直线的斜率是最大的，直线OC的斜率最小 ∵KOB=1，KOC= 故∈[﹣，1] 故答案为：[﹣，1] 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （2017?乐山二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=． （1）证明：平面ADE⊥平面ACD； （2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值． 参考答案： 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD． （Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分）， ∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分）， ∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分） ∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE， ∴DE⊥平面ACD…， ∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD… （Ⅱ）依题意，…， 由（Ⅰ）知 = = ， 当且仅当时等号成立                               …（8分） 如图所示，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，1），， ， ∴，， ，…（9分） 设面DAE的法向量为， ，即，∴，…（10分） 设面ABE的法向量为， ，即，∴， ∴…（12分） ∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补， ∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．                                    …（13分） 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）设函数，证明:当 且时，. 参考答案： 解：（1）因为， ①若，∴在为增函数； ②若，则或 ， ∴函数的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）令，， 设的正根为，所以， ∵，∴， 在上为减函数，在上为增函数， ， 令， 恒成立，所以在上为增函数， 又∵，∴，即， 所以，当时，. 20. （08年全国卷2理）（本大题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为. (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p； (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）. 参考答案： 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则． （Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ， 又， 故． （Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出          ， 盈利          ， 盈利的期望为  ， 由知，， ． （元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 21. 已知椭圆C：（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可在：a﹣c=b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率； （Ⅱ）将M代入椭圆方程，求得a和b的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k的值，利用弦长公式即可求得|AB|的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由a﹣c=b，则（a﹣c）2=b2， 由b2=a2﹣c2，整理得：2a2﹣3ac+a2=0，由e=， ∴2e2﹣3e+1=0， 解得：e=1或e=， 由0＜e＜1， ∴椭圆得离心率e=， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c，则b2=3c2， 将M（，）代入椭圆方程，则，解得：c=1， ∴椭圆的方程为：， 直线OM的方程为y=x， 当直线l的不存在时，AB的中点不在直线y=x，故直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx+m，则， 整理得：（3+4m2）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 则△=64k2m2﹣4（3+4m2）（4m2﹣12）=48