浙江省嘉兴市海盐实验中学高三数学文上学期期末试题含解析

浙江省嘉兴市海盐实验中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（   ） A．         B．       C.          D． 参考答案： B 2. 已知点P(1，2)和圆C：，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（     ） A．R B． C． D． 参考答案： C 圆，因为过 有两条切线，所以在圆外，从而 ，解得，选C．   3. 已知、是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是 A． B． C．     D． 【解析】因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B. 参考答案： 因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B. 【答案】B 4. 如图，为了测量某湖泊的两侧A,B的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A,B两点间的距离是（  ） A.    角A、B和边b        B.    角A、B和边a C.    边a、b和角C        D.    边a、b和角A 参考答案： D 根据正弦定理和余弦定理可知当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的。所以选D. 5. 袋中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，甲乙两人玩游戏，先由甲从袋中任意摸出一个小球，记下号码后放回袋中，再由乙摸出一个小球，记下号码，若就称甲乙两人“有默契”，则甲乙两人“有默契”的概率为（    ） A．     B．     C．     D． 参考答案： D 6. 设为等差数列的前项和，若，公差，，则（     ） A．5      B．6       C．7        D．8 参考答案： A 7. 已知，则函数的各极大值之和为 A.    B.      C.       D. 参考答案： A【知识点】利用导数研究函数的极值B12    ∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）， ∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx； 令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）； ∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增， 当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减； ∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值， 此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π； 又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点， ∴函数f（x）的各极大值之和为： eπ+e3π+e5π+…+e2011π+e2013π==． 故选：A． 【思路点拨】求出函数的函数，利用导函数判断函数的单调区间与极大值点，从而求出极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和. 8. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为        （    ）     A．            B．            C．          D． 参考答案： D 由得。当，解得，由，解得，由得.所以根据积分的应用知所求面积为.选D. 9. 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1, f(2)=2， f(23)+ f(-14)= （A）-1     （B）1         （C）-2        （D）2 参考答案： A 10. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为 A．56                 B．52    C．28             D．26 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 有11个座位，现安排甲、乙2人就坐，甲、乙都不坐正中间的1个座位，并且这两人不相邻的概率是        ． 参考答案： 12. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的     宽度约等于        m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据： ) 参考答案： 13. 若，则___________. 参考答案： 略 14. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为_________． 参考答案： 略 15. 设的值为_________。 参考答案： 略 16. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．   参考答案： 答案：2 17. 如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”. 给出下列函数①;   ②; ③;                  ④. 以上函数是“函数”的所有序号为           . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球． （1）求甲三次都取得白球的概率； （2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）本题为有放回的取球问题，可看作独立重复试验，求出概率即可； （2）ξ的所有可能取值为6，7，8，分别求其概率即可，利用期望公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，甲每次都取得白球的概率为，所以甲三次都取得白球的概率为； （2）甲总得分情况有6,7,8,9四种可能，记ξ为甲总得分． ， ， ， ξ 6 7 8 9  P（x＝ξ） 27/125 54/125 36/125 8/125     甲总得分ξ的期望 【点睛】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和期望等知识，属于基础题． 19. 在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，PA =AD=DC=2AB=2，PD =AC，E是棱PC的中点，且BE⊥CD. （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD； （Ⅱ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）取中点，连接， 由已知,故为平行四边形 所以 ，因为，故 . 又 ，所以  ……………………………………2分 ，所以. 由已知可求， ，所以 ，所以 又 ，所以  …………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，又 以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得， ，，.由为棱的中点，得. 向量，，，. …6分 由点在棱上，设，. 故. 由，得， 因此，，解得.即.……………………………………………8分 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量. …………………………………………………10分 取平面的法向量，则. 易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.  …………………………………………………12分   20. 济南市某中学课外兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分別到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料（表）: 日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差 10 11 13 12 8 6 就诊人数（个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率； （2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想. 其中回归系数公式，, 参考答案： （1）设抽到相邻两个月的数据为亊件， 因为从组数据中选取组数据共有种情况， 每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有种， 所以.                                          --------------3分 （2）由数据求得, 由公式求得， 再由,得关于的线性回归方程为.--------------8分 （3）当时，; 同样，当时，, 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.                          --------------12分 21.  已知点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.     （I）求点P的坐标；     （II）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离的最小值． 参考答案： (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，由已知可得则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或－6，由于y>0， 故x＝，于是y＝，∴点P的坐标是. (2)由(1)得直线AP的方程是x－y＋6＝0，设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是＝6－m，又－6≤m≤6，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤x≤6，∴当x＝时，d取最小值. 22. 矩阵与变换 设矩阵所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换． （Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量； （Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程． 参考答案： 解: （Ⅰ）由条件得矩阵， 它的特征值为和，对应的特征向量为及；……4分 （Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为.…7分 略