2021年广东省湛江市洋青中学高三数学理月考试题含解析

2021年广东省湛江市洋青中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于(     ) A．A∩B B．A∪B C．?U（A∩B） D．?U（A∪B） 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集． 【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1． 所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}， 又B={x|x≥1}， 则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}， 所以，集合{x|x≤0}=CU（A∪B）． 故选D． 【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题． 2. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是， 则判断框内应填入的条件是 （A） （B） （C） （D） 参考答案： A 略 3. 已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填人的关于n的判断条件是（   ） A．？     B．？   C．？      D．？ 参考答案： B 试题分析：，程序框图的作用是求其前项和，由于，故再循环一次就满足，故填. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，D为BC的中点，动点E，F分别在AB，AC上，分别过点EG∥AD∥FH，交BC于点G、H，若EF∥BC，则EF+EG+FH的值为（　　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先根据勾股定理计算出BC=，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DB=DC，则∠B=∠DAB，∠C=∠DAC，由于EF∥BC，EG∥AD∥FH，所以∠BEG=∠DAB，∠CFH=∠DAC，EF=GH，则∠B=∠BEG，∠C=∠CFH，根据等呀哦三角形的判定得BG=EG，FH=HC，所以EF+EG+FH=GH+BG+HC=BC=． 【详解】∵∠BAC=90°，AB=2，AC=3， ∴BC== ， ∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴DA=DB=DC， ∴∠B=∠DAB，∠C=∠DAC， ∵EF∥BC，EG∥AD∥FH， ∴∠BEG=∠DAB，∠CFH=∠DAC，EF=GH， ∴∠B=∠BEG，∠C=∠CFH， ∴BG=EG，FH=HC， ∴EF+EG+FH=GH+BG+HC=BC=． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质． 5. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准 线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为，的面积为2， 则    A. 2          B. 1           C.          D. 3 参考答案： A 6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 参考答案： B 如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=，OM=,在中，MD= ，∴，选B. . 7. 已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=3x2+1}，则M∩（?UN）=（　　） A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3} 参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】解一元二次不等式求得M，求函数的值域得到N，根据补集的定义求得?UN，再根据两个集合的交集的定义求得M∩（?UN）． 【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=3x2+1}={y|y≥1}，∴?UN={y|y＜1}， ∴M∩（?UN）={x|﹣1≤x＜1}， 故选：A． 8. 在等差数列中，，表示数列的前项和，则 A．              B．         C．                D． 参考答案： B 9. 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线x-2y+4=0与C交于A、B两点，则sin∠AFB=（    ）                                     参考答案： B 略 10. 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时， f（x）=， 则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　） A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1 参考答案： A 【考点】函数的零点． 【专题】数形结合；函数的性质及应用． 【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标． 作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案． 【解答】解：∵当x≥0时， f（x）=； 即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]； x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]； x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）； 画出x≥0时f（x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示； 则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6， ∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）=（﹣x+1）， 又f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）， ∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a， 解得x=1﹣2a， ∴所有根的和为1﹣2a． 故选：A． 【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有　　个． 参考答案： 27 【考点】D3：计数原理的应用． 【分析】先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，列举出所有的情况，注意去掉不能构成三角形的结果，求和得到结果． 【解答】解：由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形， 先考虑等边三角形情况 则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个 再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b 当a=b=1时，c＜a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复； 当a=b=2时，c＜4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n有2个； 当a=b=3时，c＜6，则c=1，2，4，5，此时n有4个； 当a=b=4时，c＜8，则c=1，2，3，5，6，有5个； 当a=b=5时，c＜10，有c=1，2，3，4，6，有5个； 当a=b=6时，c＜12，有c=1，2，3，4，5，有5个； 由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27个， 故答案为27． 12. 给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.重庆武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心.若，则           参考答案： 略 13. 已知函数f(x)=x的图象过点(4,2)，令，记数列的前n项和为，则=              参考答案： 14. 函数的最小值_________. 参考答案： 略 15. 两个正数a，b的等差中项为2，等比中项为，且a＞b，则双曲线的离心率e等于　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意建立方程，求出a，b，可得c，再根据离心率的定义即可求出． 【解答】解：∵两个正数a，b的等差中项为2，等比中项为，且a＞b， ∴a+b=4，ab=3，a＞b＞0， ∴a=3，b=1， ∴c==， ∴e===， 故答案为： 16. 己知 是虚数单位,若 ，则__________. 参考答案： 2+i 17. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0．568 50及以下的部分 0．288 超过50至200的部分 0．598 超过50至200的部分 0．318 超过200的部分 0．668 超过200的部分 0．388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千 瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为        元（用数字作答）; 参考答案： 148.4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2，E、F分别是AB、AP的中点． （1）求证：AC⊥EF； （2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用EF与AO的方向向量的数量积等于0，即可证明垂直； （2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值． 【解答】（1）证明：由ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，可知：△OAB是等腰直角三角形， ∵AB=2CD=2，E是AB的中点，∴OE=EA=EB=，可得OA=OB=2． ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB．又OA⊥OB． ∴可以建立如图所示的空间直角坐标系． 则O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，0），F（1，0，1）． ∴，． ∴，∴EF⊥AO，即EF⊥AC． （2）解：由（1）可知：，． 设平面OEF的法向量为， 则，得，令x=1，则y=z=﹣1． ∴． ∵PO⊥平面OAE，∴可取作为平面OAE的法向量． ∴===． 由图可知：二面角F﹣OE﹣A的平面角是锐角θ． 因此，． 　 19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=（其中c为小于6的正常数） （注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品） 已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量． （1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？