2021-2022学年湖北省黄冈市大赵家高级中学高二数学理期末试卷含解析

2021-2022学年湖北省黄冈市大赵家高级中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列的前项和为，如果存在正整数和，使得，，则（    ） A．的最小值为       B．的最大值为    C．的最小值为         D．的最大值为 参考答案： B 2. 椭圆的长轴长为 (A)              (B)               (C)              (D)1 参考答案： B 略 3. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（    ） A．   B．   C．    D． 参考答案： D 4. 时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ）                           参考答案： C 略 5. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为 　  A．0　                      B．锐角　　         C．　　               D．钝角 参考答案： D 略 6. 设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（　　） A．（，e）                 B．（﹣e，﹣） C．（﹣∞，）∪（e，+∞） D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞） 参考答案： B 【考点】函数在某点取得极值的条件． 【分析】函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点?y′=0在区间（，e）有零点．由f′（x）=1+=．（x＞0）．可得，解出即可． 【解答】解：函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点?y′=0在区间（，e）有零点． f′（x）=1+=．（x＞0）． ∴， ∴， 解得． ∴a取值范围为． 故选：B． 　 7. 已知点在同一球面上，，,四面体的体积为，则这个球的体积为（　　） A．8  B．  C． D． 参考答案： B 8. 函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 从函数图像特征逐一分析。 【详解】函数g(x)＝|loga(x＋1)的定义域为：| ，从而排除D。 由g(x)＝|loga(x＋1)| 0，排除B。 时， ，排除A。 故选C。 【点睛】由题意得出，根据图形特征一一排除答案即可，注意看出图形的区别是关键。 9. 以下有关命题的说法错误的是（ 　 ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为假命题，则、均为假命题 D．对于命题，使得，则，则 参考答案： C 略 10. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（     ） A．         B．       C.             D． 参考答案： A 对于A：根据线面平行的性质可知，对； 对于B：则或 或 故B错； 对于C：则或或异面 故C错； 对于D：或异面 故D错 故选A   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在空间直角坐标系中，点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0）的距离是　　． 参考答案： 【考点】空间两点间的距离公式． 【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用． 【分析】根据所给的两个点的坐标和空间中两点的距离公式，代入数据写出两点的距离公式，做出最简结果，不能再化简为止． 【解答】解：∵点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0）， ∴|MN|==， 故答案为：． 【点评】本题考查两点之间的距离公式的应用，是一个基础题，这种题目在计算时只要不把数据代入出现位置错误，就可以做出正确结果． 12. 在△ABC中，若a=2，A=60°，则=　   　． 参考答案： 4 【考点】正弦定理． 【专题】计算题；转化思想；解三角形． 【分析】根据题意，结合正弦定理可得=，将a=2，A=60°代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，由正弦定理可得=， 而a=2，A=60°，则===4， 即=4， 故答案为：4． 【点评】本题考查正弦定理的运用，熟练运用正弦定理是解题的关键． 13. 等差数列-3，1，5……的第6项的值是              参考答案： 17 略 14. 已知抛物线，则其焦点坐标为          ，直线与抛物线交于两点，则           ． 参考答案： (0,1)， 抛物线，其焦点坐标为. 由 15. 若数列的前n项的和,则这个数列的通项公式为_____________. 参考答案： 略 16. 设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为           _. 参考答案：   17. 已知,(两两互相垂直单位向量)，  那么=     ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切. （Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程； （Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值. 参考答案： （Ⅰ）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=, ∴│PA│－│PB│=2.         ………………………………………3分           故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 其方程为（≥1）.          ………………………………………5分 （Ⅱ）(1)设MN的方程为，代入双曲线方程，得 . 由，解得.  ………………………………………8分 设,则 .………………………10分 当时,.               ………………………………………12分 19. 为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） 频数 30 40 20 10   表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） 频数 10 25 20 30 15 完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”      表3   疱疹面积小于70mm2 疱疹面积不小于70mm2 合计 注射药物A a＝ b＝   注射药物B c＝ d＝   合计     n＝   参考答案： 解答：   疱疹面积小于70mm2 疱疹面积不小于70mm2 合计 注射药物A a＝70 b＝30 100 注射药物B c＝35 d＝65 100 合计 105 95 n＝200 由于所以有99％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”   20. 某超强台风登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：   经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30     捐款低于500元   6   合计         台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？ 附：临界值表 2.072 2.706 3.841 5.024 6635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001   参考公式： ， . 参考答案： 见解析 【分析】 根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； 【详解】根据题意填写列联表如下，   经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500元 5 6 11 合计 35 15 50     计算，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关； 21. (本小题满分10分) 如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面. (Ⅰ)设的中点为，求证：平面； （Ⅱ）求斜线与平面所成角的正弦值； 参考答案： (Ⅰ)证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，侧面， 所以平面.                          ………4分 （Ⅱ）连结，设，建立空间直角坐标系，   则，，，， ，………6分 ,平面的法向量， 设斜线与平面所成角的为， 则.    ………10分 （不建系，参照给分） 22. 已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+2． （1）若a=1，求y=f（x）的极值； （2）讨论f（x）的单调区间． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）将a=1代入函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而得到函数的单调区间，进而求出函数的极值； （2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间． 【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+2， ∴f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣1， 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜， ∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（，+∞）递增，在（﹣1，）递减， ∴极大值为f（﹣1）=4，极小值为； （2）∵f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（3x﹣a）（x+a）， 当a=0时，f′（x）=3x2≥0，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）， 当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得：﹣a＜x＜， ∴f（x）的增区间为（﹣∞，﹣a）和，减区间为， 当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣a或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜﹣a， ∴f（x）的增区间为和（﹣a，+∞），减区间为．