河南省驻马店市店镇教管站联合中学2022年高三数学理期末试题含解析

河南省驻马店市店镇教管站联合中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “a＝3”是“函数f（x）＝－2ax＋2函数在区间内单调递增”的 A．充分不必要条件                  B．必要不充分 C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 2. 平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则 （A）            （B）           （C）              （D） 参考答案： D 3. 设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（　　） 　 A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C．充要条件 D． 既不充分又不必要条件 参考答案： A 略 4. 定义在R上函数的图象关于直线x=?2对称，且函数是偶函数. 若当x∈[0,1]时，，则函数在区间[?2018,2018]上零点的个数为(    ) A. 2017      B. 2018       C. 4034       D. 4036 参考答案： D 函数在区间[?2018,2018]上零点的个数，就是函数 的图象与的图象交点个数. 由的图象关于直线x= ?2对称，得是偶函数，即.又∵函数是偶函数，∴，故，因此，是周期为2的偶函数.∵当x∈[0,1]时，，作出与图象如下图， 可知每个周期内有两个交点，所以函数在区间[?2018,2018]上零点的个数为2018?2=4036. 故选D. 5. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项， 为的前项和, ，则的值为 A．－110    B．－90     C．90      D．110 参考答案： D 6. 阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（　   　） A．39 B．21 C．81 D．102 参考答案： D 7. 已知是空间三条不同直线，命题：若，，则；命题：若三条直线两两相交，则直线共面，则下列命题为真命题的是 A．      B．         C．     D．  参考答案： C 8. 若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点，若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=kα（k＞1），那么α的值是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设P（m，n），得直线PA、PB的斜率KPA和KPB满足：KPA?KPB=，由点P是双曲线x2﹣y2=a2上的点，得n2=m2﹣a2，整理得KPA?KPB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα?tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=，最后根据β=α化简整理，即可得到本题的答案． 解答： 解：∵双曲线方程为x2﹣y2=a2，即﹣=1（a＞0） ∴双曲线的左顶点为A（﹣a，0），右顶点为B（a，0） 设P（m，n），得 直线PA的斜率为KPA=；直线PB的斜率为KPB= ∴KPA?KPB=…（1） ∵P（m，n）是双曲线x2﹣y2=a2上的点， ∴m2﹣n2=a2，得n2=m2﹣a2，代入（1）式得KPA?KPB=1， ∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=KPA，tanβ=KPB， ∴tanα?tanβ=1， ∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角 ∴α+β=（k+1）α=，解之得α=， 故选D． 点评：本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题． 9. 把函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移个单位，这时对应于这个图像的解析式是     （         ） A、           B、     C、       D、 参考答案： A 10. 已知中，分别是角的对边，，则=   A.         B.            C.或      D.       参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是　　． 参考答案： 考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 计算题；待定系数法． 分析： 设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可 求f（25）的值． 解答： 解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数， ∴9α=，∴α=﹣，故 f（x）=，∴f（25）==， 故答案为：． 点评： 本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法． 12. 设函数，若f (a)＝a，则实数a的值是__________．  参考答案： 1 13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则  参考答案： 略 14. 若，则=        。 参考答案： 略 15. 若角终边落在射线上，则      。 参考答案： 16. 已知，则的值是_____. 参考答案： 【分析】 由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.   17. 已知向量＝（，1），＝（＋3，－2），若∥，则x＝_____ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分) 已知函数,其中为正实数,. (I)若是的一个极值点,求的值; (II)求的单调区间. 参考答案： 解:. (I)因为是函数的一个极值点, 所以, 因此, 解得. 经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为. ……………………………………………………………4分 (II) 令得……① (i)当,即时,方程①两根为 . 此时与的变化情况如下表: 0 — 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时,的单调递增区间为,; 的单调递减区间为. (ii)当时,即时,, 即,此时在上单调递增. 所以当时,的单调递增区间为. ……………………………………………………………13分 19. 如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，． （1）证明：；           （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．   参考答案： 解：（1）平面平面， ．……………1分 又， 平面 而平面 ．  ………………………………………3分 是圆的直径，． 又， ． 平面，， 平面． 与都是等腰直角三角形． ． ，即（也可由勾股定理证得）．………………………………5分 ，     平面． 而平面， ．  ………………………………………………………………………………6分 （2）延长交于，连，过作，连结． 由（1）知平面，平面， ． 而，平面． 平面， ， 为平面与平面所成的 二面角的平面角．     ……………………8分 在中，，， ． 由，得． ． 又， ，则．    ………………………………11分 是等腰直角三角形，． 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．　 ………………………12分 20. （本题满分12分）正方体中，，E为棱的中点． (Ⅰ) 求证：； (Ⅱ) 求证：平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 参考答案： (Ⅰ)证明：连结，则//，   ∵是正方形，∴．∵面，∴． 又，∴面．    ∵面，∴， ∴．  （Ⅱ）证明：作的中点F，连结． ∵是的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，∴ ． ∵是的中点，∴， 又，∴． ∴四边形是平行四边形，//， ∵，， ∴平面面．  又平面，∴面．  （3）．　 ．  21. 如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上. (Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并 注明函数的定义域； (Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位 置应在哪里？   如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？ 请给予证明. 参考答案： （Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：      ，?      又. ?        把?代入?得，      ∴      ∵      ∴     即函数的定义域为. (Ⅱ）如果DE是水管，则，  当且仅当，即时“=”成立，故DEBC,且DE=.  如果DE是参观线路，记，则  ∴函数在上递减，在上递增  故.  ∴.  即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.   22. 已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；KG：直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C： +=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．