河南省郑州市荥阳第二高级中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析

河南省郑州市荥阳第二高级中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在正四面体A﹣BCD中，棱长为4，M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC⊥面AMD；②Q点一定在直线DM上 ③VC﹣AMD=4．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 参考答案： A 【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】①因为AM⊥BC，DM⊥BC所以BC⊥平面ADM．故①正确 ②因为PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD所以PQ⊥BC因为P∈AM所以P∈平面AMD因为BC⊥平面AMD所以Q∈平面AMD因为平面AMD∩平面BCD=MD所以Q∈MD故②正确． ③因为BC⊥平面ADM∴把MC作为四面体C﹣MAD的高，△AMD为其底面，S△AMD=，VC﹣AMD=．故③错误 【解答】解：∵A﹣BCD为正四面体且M为BC的中点 ∴AM⊥BC，DM⊥BC 又∵AM∩DM=M ∴BC⊥平面ADM 故①正确． ∵PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD ∴PQ⊥BC 又∵P∈AM∴P∈平面AMD 又∵BC⊥平面AMD ∴Q∈平面AMD 又∵平面AMD∩平面BCD=MD ∴Q∈MD 故②正确． 由①得BC⊥平面ADM∴把MC作为四面体C﹣MAD的高，△AMD为其底面 在三角形△AMD中AM=MD=，AD=4 ∴S△AMD= ∴VC﹣AMD== 故③错误． 故选A． 2. 使成立的x的一个变化区间是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先化简已知得，再解不等式即得解. 【详解】由题得. 所以 当时， 因为. 故选： 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 函数的定义域为   (       ) A．（０，３］    B．       C．     D．                   参考答案： C 4. （5分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（?UM）∩N为（） A． {x|1＜x＜2} B． {x|1≤x≤2} C． {x|1＜x≤2} D． {x|1≤x＜2} 参考答案： C 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，根据全集U=R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可． 解答： 由M中的不等式变形得：x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0， 解得：x＞2或x＜0， ∴M={x|x＞2或x＜0}， ∵全集U=R， ∴?UM={x|0≤x≤2}， 由N中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21， 得到0＜x﹣1≤1， 解得：1＜x≤2，即N={x|1＜x≤2}， 则（?UM）∩N={x|1＜x≤2}． 故选：C． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 5. 在下面的四个选项中,(   )不是函数的单调减区间. A.    B.     C.       D. 参考答案： C 6. 若函数f(x)是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2,+∞)上是减函数，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数， ∴f（4）＜f（3）＜f（2）， 即f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键． 7. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（　　） A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32） C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3） 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，可知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又由f（x）是R上的偶函数可得f（x）在（0，+∞）上是增函数，从而可得结论． 【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0， ∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数， 又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∵0.32＜20.3＜log25 ∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）． 故选：A． 8. （2015秋?阿克苏地区校级期末）化简得（　　） A．sin2+cos2 B．cos2﹣sin2 C．sin2﹣cos2 D．±cos2﹣sin2 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案． 【解答】解： ==|sin（π﹣2）+cos（π﹣2）|=|sin2﹣cos2| ∵sin2＞0，cos2＜0， ∴sin2﹣cos2＞0， ∴=sin2﹣cos2 故选C 【点评】本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系． 9. 函数其中，的图象的一部分如图所示，则（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解． 【详解】如图根据函数图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16， 又∵ω＞0， ∴ω， 当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z， ∴＝2kπ，k∈Z， ∵0＜＜π， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查． 10. 12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是(　　) A．3个都是正品  B．至少有一个是次品 C．3个都是次品  D．至少有一个是正品 参考答案： D A，B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列中, 若则--=___________. 参考答案：   解析： 12. 若函数f（x）=x2+为偶函数，则实数a=　  　． 参考答案： 1 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）=x2+为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， 即x2﹣=x2+， 则=0，则a=1， 故答案为：1 13. 已知是有序数对集合上的一个映射，正整数对在映射下的象为实数，记作，对于任意的正整数映射由下表组出： 使不等式成立的的集合是            。 参考答案： {1,2} 绘制函数的图象如图所示，由图象可知，恒成立， 由 可得或. 所以不等式成立的的集合是{1,2}.   14. 函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围                  . 参考答案： 15. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是_____． 参考答案： 2π 【分析】 先确定旋转体为圆柱，根据条件得出圆柱的底面半径和母线长，然后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案。 【详解】由题意可知，旋转体为圆柱，且底面半径为，母线长为， 因此，旋转体的侧面积为，故答案为：。 【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，计算出圆柱的底面半径和母线长是解本题的关键，意在考查学生对这些公式的理解与运用能力，属于基础题。 16. 在ABC中， D是BC的中点，AD＝5，BC＝8，则＝____________ 参考答案： 17. 已知sinα=﹣，α为第三象限角，则等于　　． 参考答案： ﹣ 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα，将所求化简可得，代入即可求值． 【解答】解：∵sinα=﹣，α为第三象限角， ∴cosα=﹣=﹣ ∴====﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）判断的奇偶性并给予证明； （2）求满足的实数的取值范围． 参考答案： （1）奇函数； ;是奇函数 （2）或或 19. 已知集合，， 求M∩N 参考答案： 20. 已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B． （Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB长度的最小值． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值 试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及 圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即： ，当时，AB有最小值 试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b）， 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°, 所以MP＝，解得 所以4分 （Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径， 其方程为： 即 由， 7分 解得或，所以圆过定点9分 （Ⅲ）因为圆方程为 即① 圆：，即② ②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为： 11分 点M到直线AB的距离13分 相交弦长即： 当时，AB有最小值16分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程 21. 已知圆C：. （1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线：上，且与圆C外切，求圆D的方程. 参考答案： (1) 和;(2) 或 试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.（2）设出圆圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得的值，从而求得圆的方程. 试题解析： (1)圆化为标准方程为，所以圆的圆心为，半径为，①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意. ②若直线的斜率存在,设直线的方程为，即.由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径，所以，即，解得，所以，直线方程为，综上，所求的直线方程是和. (2) 依题意设，又已