2021-2022学年浙江省杭州市市育新中学高三数学文月考试卷含解析

2021-2022学年浙江省杭州市市育新中学高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设a=log2，b=，c=lnπ，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 参考答案： C 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=log2＜0，0＜b=＜1，c=lnπ＞1， ∴a＜b＜c． 故选：C． 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． 2. 已知函数f（x）＝，若f（a）＝－π，则f（－a）＝     A．0            B．1              C．π              D．－π 参考答案： C 略 3. 已知点P（x，y）满足为坐标原点，则使的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】CF：几何概型． 【分析】作出图形，求出相应区域的面积，即可求出概率． 【解答】解：如图所示，点P（x，y）满足的区域面积为=，使成立的区域如图中阴影部分，面积为﹣=1， ∴所求概率为=， 故选：D． 4. 已知点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S=SS成立，则双曲线的离心率为（　　） A．4 B． C．2 D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式S=SS，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率． 【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG， 则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是： △IF1F2，△IPF1，△IPF2的高， ∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|， =×|PF2|×|IG|=|PF2|， S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径． ∵S=SS， ∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|， 两边约去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|， ∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|， 根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c， ∴2a=c?离心率为e=2， 故选：C． 5. 已知命题p：sinx=，命题 q：x=+2kπ，k∈Z，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可． 【解答】解：∵命题，命题， ∴由p推不出q，由q能推出p， 则p是q的必要不充分条件， 故选：B． 　 6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（　　） A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6} 参考答案： C 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合． 【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出； 再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出； 故， 解得：1＜a≤5， 故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键． 7. 设全集，集合，，则（   ） A．            B．            C．            D． 参考答案： D 8. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是          A．                        B．           C．                         D．  参考答案： B 根据线面垂直的性质可知，B正确。 9. 下列结论中正确的是(     ) A．若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）的概率为0.4，则ξ位于区域（1，+∞）内的概率为0.6 C．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4'分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 D．利用随机变量Χ2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的Χ2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大 参考答案： D 考点：相关系数． 专题：综合题；概率与统计． 分析：A．由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确； B．由变量ξ～N（1，σ2），根据对称性，求出ξ位于区域（1，+∞）内的概率，判定命题是否正确； C．根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确； D．由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确． 解答： 解：A．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此不正确； B．∵变量ξ～N（1，σ2），∴ξ位于区域（1，+∞）内的概率为0.5，因此不正确； C．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，因此不正确； D．利用随机变量Χ2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的Χ2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大，正确． 故选：D． 点评：本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题． 10. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ）  A．     B．   C．            D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某种品牌的摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的溉率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2．某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为            。 参考答案： 略 12. 将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为　　． 参考答案： 略 13. 若在区间[ 0, 1] 上存在实数x使2x（3 x+a）<1成立, 则a的取值范围是         。 参考答案： （-∞，1）【知识点】函数的单调性与最值B3 2x（3x+a）＜1可化为a＜2-x-3x， 则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2-x-3x）max， 而2-x-3x在[0，1]上单调递减，∴2-x-3x的最大值为20-0=1，∴a＜1， 故a的取值范围是（-∞，1）. 【思路点拨】2x（3x+a）＜1可化为a＜2-x-3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值． 14. 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为　　． 参考答案： 20 【考点】简单线性规划． 【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论． 【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍， 画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20 故答案为：20． 15. 在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则l与C的交点的直角坐标为＿＿＿＿ 参考答案： (1,2) 16. 若，则              . 参考答案： ，所以，。 17. 已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A∩B =   ▲   ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知椭圆的离心率为，且短轴长为，是椭圆的左右两个焦点，若直线过，且倾斜角为,交椭圆于两点. （1）求椭圆的标准方程. （2）求的周长与面积. 参考答案： 【知识点】椭圆及其几何性质H5 【答案解析】（1）  （2）8； （1）∵离心率为，且短轴长为2，∴解得：c2=，a2=6，b2=3， ∴椭圆C的标准方程为=1； （2）设△ABF1的周长为l， 则l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8，F2（1，0）， 又∵倾斜角为45°，∴l的方程为：x-y-1=0， ∴，消x得7y2+6y-9=0，∴y1+y2=-，y1?y2=-， ∴|y1-y2|==， ∴设△ABF1的面积为S，∴S=×2c×|y1-y2|=． ∴△ABF1的周长与面积分别为8； 【思路点拨】（1）设出椭圆C的标准方程，由短轴长与离心率，结合a2=b2+c2，求出b、a，即得标准方程； （2）求出直线AB的方程，与椭圆的方程组成方程组，利用韦达定理得y1+y2=- ，y1?y2=-，计算出|y1-y2|，求出面积． 19. 本小题满分12分）     如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面⊥平面．  (1)求证：⊥平面；  (2)当取得最小值时，求四棱锥的体积． 参考答案： （Ⅰ）证明： ∵　菱形的对角线互相垂直， ∴，∴，··············································································· 1分 ∵  ，∴．                           ∵　平面⊥平面，平面平面， 且平面， ∴　平面,  ∵  平面，∴　.···················· 3分                                       ∵  ，∴　平面. ························································· 4分 （Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.········································ 5分 （ⅰ）设 因为，所以为等边三角形， 故，.又设，则，. 所以，，， 故 ，··································································· 6分 所以， 当时，. 此时，········································ 7分