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2021年河北省邯郸市武安职业高级中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若向量,,两两所成的角相等,且||=1,||=1,||=3,则|++|等于( )
A.2 B.5 C.2或5 D.或
参考答案:
C
【考点】向量的模.
【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°,或都等于0°,再由,由此分别求得、、的值,再根据==,运算求得结果
【解答】解:由于平面向量两两所成的角相等,故每两个向量成的角都等于120°,或都等于0°,
再由,
①若平面向量两两所成的角相等,且都等于120°,
∴=1×1×cos120°=﹣, =1×3×cos120°=﹣, =1×3×cos120°=﹣.
==
==2.
②平面向量两两所成的角相等,且都等于0°,
则=1×1=1, =1×3=3, =1×3=3,
====5.
综上可得,则=2或5,
故选C.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.
2. 在200米高的山顶上测得一建筑物顶部与底部的俯角分别为与,则建筑物高为 ( )
A.米 B.米 C.米 D.100米
参考答案:
A
略
3. 如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是( )
(A)(cosθ,sinθ) (B)(-cosθ,sinθ)
(C)(sinθ,cosθ) (D)(-sinθ,cosθ)
参考答案:
A
略
4. 设集合A={x|ex},B={x|log2x<0},则A∩B等于( )
A.{x|x<﹣1或x>1} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B,即可确定出两集合的交集.
【解答】解:由A中不等式变形得:ex=e﹣1,即x>﹣1,
∴A={x|x>﹣1},
由B中不等式变形得:log2x<0=log21,得到0<x<1,
∴B={x|0<x<1},
则A∩B={x|0<x<1},
故选:C.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
5. 已知,,则的最大值是
A. B. C. D. 1
参考答案:
C
6. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
参考答案:
B
【分析】
根据三视图可还原几何体,根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积,加和得到表面积.
【详解】有三视图可得几何体的直观图如下图所示:
其中:,,,
则:,,
,,
几何体表面积:
本题正确选项:
【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题,关键是能够根据三视图准确还原几何体,从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.
7. 已知等差数列中,,则的值是 ( )
A.10 B.12 C.8 D.16
参考答案:
B
8. 若,且,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
9. 已知,则等于( )Ks5u
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在边长为1的正三角形ABC中,设=__________.
参考答案:
略
12. =
参考答案:
(1,)
略
13. 已知两条不同直线、,两个不同平面、,给出下列命题:
①若垂直于内的两条相交直线,则⊥;
②若∥,则平行于内的所有直线;
③若,且⊥,则⊥; ④若,,则⊥;
⑤若,且∥,则∥.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
①④
14. 已知函数,若对任意都有成立,则的最小值是____
参考答案:
2
15. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x﹣1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最前面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分)
参考答案:
③④⑤
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】应用题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据指数型函数,幂函数,一次函数以及对数型函数的增长速度便可判断每个结论的正误,从而可写出正确结论的序号.
【解答】解:路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为:
,,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1);
它们相应的函数模型分别是指数型函数,幂函数,一次函数,和对数型函数模型;
①当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;
②∵指数型的增长速度大于幂函数的增长速度,∴x>1时,甲总会超过乙的,∴该结论不正确;
③根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,∴该结论正确;
④结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确;
⑤指数函数变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,∴该结论正确;
∴正确结论的序号为:③④⑤.
故答案为:③④⑤.
【点评】考查指数型函数,幂函数y=x3和y=x,以及对数型函数的增长速度的不同,取特值验证结论不成立的方法.
16. 已知集合A=,B=,且A=B ,则实数
参考答案:
略
17. 下列命题:①α内有无数条直线平行于β,则α∥β;②平行于同一直线的两个平面互相平行;③经过平面α外两点一定可以作一个平面与α平行;④平行于同一个平面的两个平面平行.其中不正确的命题为 .
参考答案:
①②③
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)已知点M(0,1),C(2,3),动点P满足||=1,过点M且斜率为k的直线l与动点P的轨迹相交于A、B两点.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)求实数k的取值范围;
(3)求证:?为定值;
(4)若O为坐标原点,且?=12,求直线l的方程.
参考答案:
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算.
专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: (1)设P(x,y),由已知得=1,由此能求出动点P的轨迹方程.
(2)设直线l的方程为y=kx+1,代入动点P的轨迹方程得:(1+k2)x2﹣4(1+k)x+7=0,由此利用根的判别式能求出实数k的取值范围.
(3)设过M点的圆切线为MT,T为切点,由MT2=MA×MB,能证明为定值.
(4)设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得=x1x2+y1y2==12,由此能求出直线l的方程.
解答: (1)设P(x,y),
∵点M(0,1),C(2,3),动点P满足||=1,
∴=1,
整理,得动点P的轨迹方程为:(x﹣2)2+(x﹣3)2=1.…(2分)
(2)直线l过点M(0,1),且斜率为k,
则直线l的方程为y=kx+1,…(3分)
将其代入动点P的轨迹方程得:(1+k2)x2﹣4(1+k)x+7=0,
由题意:△=2﹣28(1+k2)>0,
解得.…(6分)
(3)证明:设过M点的圆切线为MT,T为切点,
则MT2=MA×MB,
而MT2=(0﹣2)2+(1﹣3)2=7,…(8分)
∴=||?||cos0°=7为定值.…(10分)
(4)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知,…(10分)
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
==12,…(12分)
解得k=1,当k=1时.△=82﹣4×2×7=8,…(13分)
故k=1,直线l的方程为y=x+1.…(14分)
点评: 本题考查动点的轨迹方程的求法,考查直线斜率的取值范围的求法,考查?为定值的证明,考查直线方程的求法,解题时要注意根的判断式、韦达定理的合理运用.
19. 在等差数列{an}中,公差,且,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)利用等差数列的基本量或者性质可求;
(2)利用错位相减法可以求得.
【详解】解:(1)由题可得,
联立解得或(舍去)
,.
(2)由(1)可得,
则有 , ①
,②
由②-①式得 ,
整理得.
20. 已知函数.
(1)若函数是偶函数,求出的实数的值;
(2)若方程有两解,求出实数的取值范围;
(3)若,记,试求函数在区间上的最大值.
参考答案:
21. 已知:集合集合(是参数).
(1)求(A在R中的补集),若,求. (R是实数集)
(2)若求实数的取值范围.
(3) 若,求实数的取值范围.
参考答案:
解:
,
当时,
(2) ,即
(3),即
略
22. 如图,在平面直角坐标系xOy中,角的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点,将角的终边绕原点逆时针方向旋转,交单位圆O于点
(1)若,求的值;
(2)分别过A,B向x轴作垂线,垂足分别为C,D,记△AOC,△BOD的面积分别为.若,求角的大小.
参考答案:
解:(Ⅰ)由已知得, ……2分
所以.
…………5分
(Ⅱ)根据条件知, …………6分
, …………8分
因为,所以
, …………10分
于是,,解得. …………12分
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