河南省许昌市顺店镇中心学校2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

河南省许昌市顺店镇中心学校2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设方程 的两个根为，则                                 （       ） （A）    （B）    （C）    （D） 参考答案： C 略 2. 如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是                                                           (  ) A.        B.         C.         D. 参考答案： B 略 3. 同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是  A．                         B．   C．                        D． 参考答案： C 解析：逐一排除即可 4. 已知复数z满足（i为虚数单位），则z=（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案， 【详解】由z?i＝3﹣4i，得z． 故选C． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 5. 若A为不等式组 表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可． 【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB， 动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1． 知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形， 所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=×3×﹣×1×1= 故答案为：D． 6. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．点，分别为棱，的中点，是侧面内一动点，且满足.则当点运动时， 的最小值是（   ） （A）  （B）  （C） （D） 参考答案： 【知识点】点、线、面间的距离计算 G11 B解析：以 为直径在平面内作圆，该圆的半径为，再过 引 的垂线，垂足为，连接，所以 ，其中的长为棱长4，因此当最小时，就取最小值，点到圆心的距离为3，所以的最小值为：， 所以的最小值为： ，故选B. 【思路点拨】由是侧面内一动点，且满足，想到以 为直径在平面内作圆，点在圆上，在中，，当最小时，就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题. 7. 下列说法正确的是（　　） A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1” B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件 C．命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0” D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D． 【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误； 由1×1﹣m2=0，得m=±1， ∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误； 命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误； 由三角形中，A=B?a=b?sinA=sinB，得： 命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确． 故选：D． 8. 已知变量满足约束条件的最大值为（   ）        A．1                            B．3                            C．4                            D．8 参考答案： D  9. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（    ） A．       B．1 C．      D．2 参考答案： A 10. 若p是q的充分不必要条件，则下列判断一摩军确的是(    )   A．p是q的必要不充分条件   B．-q是p的必要不充分条件   C．p是q的必要不充分条件   D．q是p的必要不充分条件 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　  　． 参考答案： 3 【考点】导数的乘法与除法法则． 【专题】导数的综合应用． 【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a． 【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna?axlnx+ax，又f′（1）=3，所以a=3； 故答案为：3． 【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键． 12. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数为         . 参考答案： 答案:   13. 设是公比大于1的等比数列，为的前项和，已知，且构成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和Tn. 参考答案： (1)由已知得 解得a2＝2，可得a1＝，a3＝2q. 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0， 解得q1＝2，q2＝. 由题意q>1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由于，n＝1，2，…， 由(1)得， ∴，∴ ∴    ①     ② ①－②得: 即 ∴ 14. 已知二次函数的值域为，则的最小值为      . 参考答案： 10 略 15. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过　　小时后，学生才能回到教室． 参考答案： 0.6 【考点】根据实际问题选择函数类型． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】当t＞0.1时，把点（0.1，1）代入y=（）t﹣a求得a，曲线方程可得．根据题意可知y≤0.25，代入即可求得t的范围． 【解答】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a ∴0.1﹣a=0 a=0.1 由题意可得y≤0.25=， 即（）t﹣0.1≤， 即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6， 由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6 【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案． 16. 已知函数是奇函数，当时，则当时，          ▲       。 参考答案： 略 17. 已知时，集合有且只有3个整数，则的取值范围是__________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知与圆相切于点，经过点的割线交 圆于点，的平分线分别交于点. （1）证明：；  （2）若，求的值.              参考答案： （1）∵ PA是切线，AB是弦，∴ ∠BAP=∠C， 又 ∵ ∠APD=∠CPE，∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD， ∠AED=∠C+∠CPE，∴ ∠ADE=∠AED。  （2）由（1）知∠BAP=∠C，又 ∵ ∠APC=∠BPA，  ∴ △APC∽△BPA， ∴，      ∵ AC=AP， ∴ ∠APC=∠C=∠BAP，由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°， ∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°， ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°－90°=90°， ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°。 在Rt△ABC中，=， ∴ =。 略 19. A（不等式选讲）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围            . 参考答案： 略 20. 已知的内角的对边分别为若且. （1）求角的值. （2）若的面积，试判断的形状. 参考答案： (1);(2)等边三角形. 考点：1.正余弦定理；2.判断三角形的形状. 21. （本小题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且. （Ⅰ）当时，证明：直线∥平面; （Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案： 几何方法 （Ⅰ）证明：如图1，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1. 当λ=1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1 所以BC1∥FP. 而FP平面EFPQ, 且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.        图1               图2                 图3 （Ⅱ）如图2，连接BD. 因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF=BD. 又DP=BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ=BD， 从而EF∥PQ，且EF=PQ. 在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ=DP=λ，BE=DF=1， 于是EQ=FP=，所以四边形EFPQ是等腰梯形. 同理可证四边形PQMN是等腰梯形. 分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG， 则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO=O， 故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角. 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH=90°. 连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形. 连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH=ME=2. 在△GOH中，GH2=4，OH2=, OG2=, 由OG2+OH2=GH2，得，解得， 故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.   向量方法： 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图3所示的空间 直角坐标系D—xyz. 由已知得 B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ) =(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0) （Ⅰ）证明：当λ=1时，=(-1，0，1)， 因为=(-2，0，2)，所以=2，即BC1∥FP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. （Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n=(x，y，z)，则 由 可得于是可取n=(λ，-λ，1). 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2，2-λ，1) 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角， 则m·n=