2021年天津河东区第八十二中学高二数学文联考试题含解析

2021年天津河东区第八十二中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若弦长=8，则弦中点的横坐标为          A．1　　 　                     B．2　　                          C．3　　 　                     D．4 参考答案： C 2. 已知幂函数的图象经过点，、（）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号是（   ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 参考答案： D 试题分析：因为为幂函数，故可设，又它的图象经过点，可由得出，所以．设它在上为递增函数，若，则有，故①②中只能选择②．设它在上为递减函数，若，则有，故③④中只能选择③．因此最终正确答案为D． 考点：指数运算和幂函数及其性质． 3. 若直线的参数方程为为参数),则直线的斜率为(　　) A. B.    C. D. 参考答案： D 4. 已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是(   ) A.       B.     C. 或     D. 或 参考答案： A 5. 已知命题，它的否定是（   ） A．存在    B．任意 C．存在    D．任意 参考答案： A 6. 已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点， 依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可． 作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象，利用数形结合的思想求解即可 【解答】解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，∵y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点， 依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可． 作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下                                                设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；则?k=e﹣2 且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，直线f（x）=kx+1过定点（0，1） 方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e﹣3，∴则实数k的取值范围是 2e﹣3＜k＜e﹣2． 故选：C 7. 点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为(　　) A．9          B．8            C．5  D．2 参考答案： D 8. 在数列（    ） A、          B、         C、         D、 参考答案： B 9. 已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为(   ) A. B. C. D. 或 参考答案： B 由，得．令且，则，即  （*）．由，得，所以函数在上单调递增，在单调递减，且时，，图象如图所示．由题意知方程（*）的根有一根必在内，另一根或或．当时，方程（*）无意义；当时，，不满足题意，所以时，则由二次函数的图象，有，解得，故选B． 点睛：函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数零点（方程的根）的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与有一定关系的函数和的图象问题，且与的图象易得． 10. 的三内角所对边的长分别为，若直线与直线垂直，则角的大小为（  ） A．      B．        C．        D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知1≤x2+y2≤2,u= x2+y2+xy,则u的取值范围是______________. 参考答案： 12. 四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________。 参考答案： 13. 若直线l过点（3，4），且（﹣2，1）是它的一个方向向量，则直线l的方程为　____________． 参考答案： x+2y﹣11=0 略 14. 对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式： []+[]+[]=3 []+[]+[]+[]+[]=10 []+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21 … 按照此规律第n个等式的等号右边的结果为　     　． 参考答案： 2n2+n 【考点】F1：归纳推理． 【分析】由[x]表示不超过x的最大整数，分别研究等式的左边和右边，归纳出规律即可求出第n个等式的等号右边的结果． 【解答】解：因为[x]表示不超过x的最大整数， 所以=1， =2，…， 因为等式：， ， ， …， 所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3， 第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10， 第3个式子的左边有7项、右边3×7=21， 则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边=n（2n+1）=2n2+n， 故答案为：2n2+n． 15. 若函数则            参考答案： 2 16. 已知,,对一切恒成立， 则实数的取值范围是__________ 参考答案： (文)                 （理） 4 略 17. 函数的单调递减区间是                       。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题13分）如图，已知抛物线上两定点分别在对称轴左、右两侧，为抛物线的焦点，且. （1）求两点的坐标； （2）在抛物线的一段上求一点，使的面积最大，并求这个最大面积. 参考答案： （1）；(2) 。 19. （本小题满分12分） 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为的三个大小相同的球，现从甲、乙两个盒子中各取出个球，每个球被取出的可能性相等． （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （2）求取出的两个球上标号之和不小于的概率． 参考答案： 解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为， 用表示抽取结果，则所有可能的结果有9种，即 ，，， ，，，， ，，．  …………………………………………….……4分  （Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A， 则． 事件A由4个基本事件组成，故所求概率．                                             答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．   ………………8分            （Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之和不小于4”为事件B， 则． 事件B由7个基本事件组成，故所求概率． 答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．    ………………12分 20. 在平面直角坐标系xoy中，已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),实数t满足 ,求t的值 参考答案： , 由得＝－11－5t=0 所以t=   21. 2013年将举办的第十二届中国?东海国际水晶节，主题为“水晶之都?福如东海”，于9月28日在国内唯一水晶博物馆正式开幕．为方便顾客，在休息区200m2的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是两个相同的矩形．在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2．问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大． 参考答案： 解：设整个休息区域的宽为xm，则高为m． 下方矩形宽为，高为； 上方矩形宽为x﹣2，高为．        则休闲区域面积=m2．       当且仅当，即m时，上式取等号． 答：当矩形的宽为m，高为15m时，休闲区域面积最大． 考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 应用题． 分析： 设整个休息区域的宽为xm，建立休闲区域面积对应的函数关系式，利用基本不等式进行求解即可． 解答： 解：设整个休息区域的宽为xm，则高为m． 下方矩形宽为，高为； 上方矩形宽为x﹣2，高为．        则休闲区域面积=m2．       当且仅当，即m时，上式取等号． 答：当矩形的宽为m，高为15m时，休闲区域面积最大． 点评： 本题主要考查函数的应用题，利用基本不等式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且，CD=1 （1）求证：平面PCD； （2）求证：平面平面PBD； （3）求三棱锥P－ABC的体积。 参考答案： （1）证明：取AD中点E，连接ME，NE， 由已知M，N分别是PA，BC的中点， 所以，， 又ME，平面MNE，， 所以，平面平面PCD，又因为平面MNE， 所以，MN//平面PCD。                                               4分 （2）证明：ABCD为正方形， 所以， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为， 所以平面PBD，又因为平面PAC， 所以平面平面PBD。                                          8分 （3）解：平面ABCD，所以PD为三棱锥的高， 三角形ABC为等腰直角三角形， 所以三棱锥的体积。                   10分