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2021年天津河东区第八十二中学高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点,若弦长=8,则弦中点的横坐标为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
2. 已知幂函数的图象经过点,、()是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①;②;③;④.
其中正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
参考答案:
D
试题分析:因为为幂函数,故可设,又它的图象经过点,可由得出,所以.设它在上为递增函数,若,则有,故①②中只能选择②.设它在上为递减函数,若,则有,故③④中只能选择③.因此最终正确答案为D.
考点:指数运算和幂函数及其性质.
3. 若直线的参数方程为为参数),则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
参考答案:
A
5. 已知命题,它的否定是( )
A.存在 B.任意
C.存在 D.任意
参考答案:
A
6. 已知方程|lnx|=kx+1在(0,e3)上有三个不等实根,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】y=kx+1与y=|lnx|的图象在(0,1)一定有一个交点,
依题意只需f(x)=kx+1,g(x)=lnx在(1,e3)上有2个交点即可.
作f(x)=kx+1与g(x)=lnx的图象,利用数形结合的思想求解即可
【解答】解:令f(x)=kx+1,g(x)=lnx,∵y=kx+1与y=|lnx|的图象在(0,1)一定有一个交点,
依题意只需f(x)=kx+1,g(x)=lnx在(1,e3)上有2个交点即可.
作f(x)=kx+1与g(x)=lnx的图象如下
设直线f(x)=kx+1与g(x)=lnx相切于点(a,b);则?k=e﹣2
且对数函数g(x)=lnx的增长速度越来越慢,直线f(x)=kx+1过定点(0,1)
方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e﹣3,∴则实数k的取值范围是
2e﹣3<k<e﹣2.
故选:C
7. 点M在圆(x-5)2+(y-3)2=9上,点M到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )
A.9 B.8 C.5 D.2
参考答案:
D
8. 在数列( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
9. 已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D. 或
参考答案:
B
由,得.令且,则,即 (*).由,得,所以函数在上单调递增,在单调递减,且时,,图象如图所示.由题意知方程(*)的根有一根必在内,另一根或或.当时,方程(*)无意义;当时,,不满足题意,所以时,则由二次函数的图象,有,解得,故选B.
点睛:函数图象的应用常与函数零点、方程有关,一般为讨论函数零点(方程的根)的个数或由零点(根)的个数求参数取值(范围),,此时题中涉及的函数的图象一般不易直接画出,但可将其转化为与有一定关系的函数和的图象问题,且与的图象易得.
10. 的三内角所对边的长分别为,若直线与直线垂直,则角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知1≤x2+y2≤2,u= x2+y2+xy,则u的取值范围是______________.
参考答案:
12. 四棱锥中,底面是边长为的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,则二面角的平面角为_____________。
参考答案:
13. 若直线l过点(3,4),且(﹣2,1)是它的一个方向向量,则直线l的方程为 ____________.
参考答案:
x+2y﹣11=0
略
14. 对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式:
[]+[]+[]=3
[]+[]+[]+[]+[]=10
[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21
…
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为 .
参考答案:
2n2+n
【考点】F1:归纳推理.
【分析】由[x]表示不超过x的最大整数,分别研究等式的左边和右边,归纳出规律即可求出第n个等式的等号右边的结果.
【解答】解:因为[x]表示不超过x的最大整数,
所以=1, =2,…,
因为等式:,
,
,
…,
所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3,
第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10,
第3个式子的左边有7项、右边3×7=21,
则第n个式子的左边有(2n+1)项、右边=n(2n+1)=2n2+n,
故答案为:2n2+n.
15. 若函数则
参考答案:
2
16. 已知,,对一切恒成立,
则实数的取值范围是__________
参考答案:
(文) (理) 4
略
17. 函数的单调递减区间是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题13分)如图,已知抛物线上两定点分别在对称轴左、右两侧,为抛物线的焦点,且.
(1)求两点的坐标;
(2)在抛物线的一段上求一点,使的面积最大,并求这个最大面积.
参考答案:
(1);(2) 。
19. (本小题满分12分)
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为的三个大小相同的球,现从甲、乙两个盒子中各取出个球,每个球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率;
(2)求取出的两个球上标号之和不小于的概率.
参考答案:
解:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为,
用表示抽取结果,则所有可能的结果有9种,即
,,, ,,,,
,,. …………………………………………….……4分
(Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A,
则.
事件A由4个基本事件组成,故所求概率.
答:取出的两个球上的标号为相同数字的概率为. ………………8分
(Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之和不小于4”为事件B,
则.
事件B由7个基本事件组成,故所求概率.
答:取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为. ………………12分
20. 在平面直角坐标系xoy中,已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),实数t满足
,求t的值
参考答案:
,
由得=-11-5t=0
所以t=
21. 2013年将举办的第十二届中国?东海国际水晶节,主题为“水晶之都?福如东海”,于9月28日在国内唯一水晶博物馆正式开幕.为方便顾客,在休息区200m2的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域(阴影部分),已知下方是两个相同的矩形.在休闲区域四周各留下1m宽的小路,若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1:2.问如何设计休息区域,可使总休闲区域面积最大.
参考答案:
解:设整个休息区域的宽为xm,则高为m.
下方矩形宽为,高为;
上方矩形宽为x﹣2,高为.
则休闲区域面积=m2.
当且仅当,即m时,上式取等号.
答:当矩形的宽为m,高为15m时,休闲区域面积最大.
考点: 基本不等式在最值问题中的应用.
专题: 应用题.
分析: 设整个休息区域的宽为xm,建立休闲区域面积对应的函数关系式,利用基本不等式进行求解即可.
解答: 解:设整个休息区域的宽为xm,则高为m.
下方矩形宽为,高为;
上方矩形宽为x﹣2,高为.
则休闲区域面积=m2.
当且仅当,即m时,上式取等号.
答:当矩形的宽为m,高为15m时,休闲区域面积最大.
点评: 本题主要考查函数的应用题,利用基本不等式进行求解是解决本题的关键.考查学生的运算能力.
22. (本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,M、N分别为PA、BC的中点,且,CD=1
(1)求证:平面PCD;
(2)求证:平面平面PBD;
(3)求三棱锥P-ABC的体积。
参考答案:
(1)证明:取AD中点E,连接ME,NE,
由已知M,N分别是PA,BC的中点,
所以,,
又ME,平面MNE,,
所以,平面平面PCD,又因为平面MNE,
所以,MN//平面PCD。 4分
(2)证明:ABCD为正方形,
所以,
又平面ABCD,平面ABCD,所以,
因为,
所以平面PBD,又因为平面PAC,
所以平面平面PBD。 8分
(3)解:平面ABCD,所以PD为三棱锥的高,
三角形ABC为等腰直角三角形,
所以三棱锥的体积。 10分
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