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2021-2022学年湖南省常德市石门县雁池乡苏市学校高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数x,y满足约束条件:,则z=2x+y的最小值是( )
A.
﹣4
B.
﹣2
C.
0
D.
2
参考答案:
考点:
简单线性规划.
专题:
数形结合.
分析:
作出不等式组表示的平面区域,由z=2x+y可得y=﹣2x+z,则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距,截距越小,z越小,结合图象可求z的最小值.
解答:
解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分
由z=2x+y可得y=﹣2x+z,则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距,截距越小,z越小
由题意可得,当y=﹣2x+z经过点A时,z最小
由可得A(﹣2,2),此时Z=﹣2
故选B.
点评:
本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解,明确z的几何意义是解题的关键.
2. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后,余下部分的三视图如图所示,则截去部分与剩余部分体积的比为( )
A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6
参考答案:
A
【分析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.
【详解】解:由题意可知:几何体被平面ABCD平面分为上下两部分,
设正方体的棱长为2,上部棱柱的体积为:;
下部为:,截去部分与剩余部分体积的比为:.
故选:A.
3. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1,Z2,…,Z20,则复数Z,Z,…,Z所对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
参考答案:
A
解:设z1=cosθ+isinθ,则zk=z1εk-1,其中ε=cos+isin.ε20=1.ε15=-i,ε10=-1,ε5=i.
∴ zk1995=(cos1995θ+isin1995θ) ε1995(k-1)= (cos1995θ+isin1995θ)(-i)k-1.
∴ 共有4个值.选A.
4. 如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由三视图还原原几何体如图:
该几何体为四棱锥A﹣BCDE,底面BCDE为矩形,BE=,DE=2,高为1,
∴该几何体的体积为.
5. 已知函数的图像关于直线对称,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 在中,分别为内角所对的边,,且满足.若点是外一点, ,,平面四边形
面积的最大值是( )
A. B. C.3 D.
参考答案:
A
略
7. 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
B
8. 从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:
身高x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
63
66
70
72
74
根据上表可得回归直线方程,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为( )
A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05
参考答案:
B
9. 在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,,点P为三角形ABC所在平面上一动点,且满足=1,则的取值范围是
A. B. C. [-2,2] D.
参考答案:
D
根据题意,建立平面直角坐标系,如图所示
则A(0,2),B(2,0),C(0,0),
由||=1知,点P在以B为圆心,半径为1的圆上,
设P(2+cosθ,sinθ),θ∈[0,2π);
则 =(cosθ,sinθ),
又 + =(2,2);
∴ ?( + )=2cosθ+2sinθ=2 sin(θ+ ),
当θ+= ,即θ=时, ?( + )取得最大值2,
当θ+= ,即θ= 时, ?( + )取得最小值﹣2,
∴ ?( + )的取值范围是[﹣2,2].
故选:D.
10. 过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为,记,则当最小时的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知且三点共线,则的最小值为_________
参考答案:
8
12. 已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直,,
,若点都在同一球面上,则此球的表面积等于_______.
参考答案:
略
13. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3,则点P的横坐标是 .
参考答案:
2
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,已知|PF|=3,则P到准线的距离也为3,即x+1=3,即可求出x.
【解答】解:∵抛物线y2=4x=2px,
∴p=2,
由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,
∴|PF|=x+1=3,
∴x=2,
故答案为:2.
14. 在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,且,
则b= .
参考答案:
4
15. 已知点在函数(其中,e为自然对数的底数)的图象上,且,,则的最大值为 .
参考答案:
e
由题意得,因数,,所以且,令t=,所以,等号在时成立。所以,填e。
16. 设为正实数,且,则的最小值是 .
参考答案:
【知识点】基本不等式.E6
【答案解析】. 解析:∵log3x+log3y=2,∴log3xy=2,∴xy=9,
∴则≥2=.则的最小值是 ,故答案为:.
【思路点拨】利用基本不等式得≥2,由条件可得xy为定值,从而即可求得的最小值.
17. 已知是的零点,且,则实数a、b、m、n的大小关系是___________ 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆,点,动点P在E上,线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q,Q的轨迹是曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知过点的直线与C交于A,B两点,M是C与y轴正半轴的交点,设直线的斜率分别为,证明:为定值.
参考答案:
(1) (2)见证明
【分析】
(1)根据椭圆定义确定曲线C性质以及标准方程,(2)先求M坐标,再设直线方程以及A,B坐标,利用斜率公式化简,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简即得结果.
【详解】(1)依题意得,
根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E,F为焦点的椭圆,
这里,c=,所以
故C的方程为;
(2)证明:根据题意,C的方程为,M是C与y轴正半轴的交点,则M(0,1),显然直线l有斜率,设直线l的方程为
与椭圆方程联立消去y可得:,
变形可得:,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,
则,则
;
故为定值.
【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题.
19. (10分)在直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x–2y+m=0与直线x–y+–2=0相切.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.
参考答案:
(Ⅰ)x2+y2+4x–2y+1=0(Ⅱ)2x–y+5+=0或2x–y+5–=0
试题分析:(Ⅰ)利用圆心到直线的距离d=r,求出半径,即可求圆C的方程;(Ⅱ)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则设方程为2x-y+c=0,利用|MN|=,可得圆心到直线的距离即可求直线MN的方程
试题解析:(Ⅰ)圆C的标准方程为(x+2)2+(y–1)2=5–m, …………1分
圆C的半径r等于圆心C到直线x–y+–2=0的距离,
即r==2,∴ 5–m=4, …………3分
∴m=1,圆C的方程x2+y2+4x–2y+1=0. …………5分
(Ⅱ)由题意,可设直线MN的方程为2x–y+a=0, …………6分
则圆心C到直线MN的距离d=, …………7分
由d2+()2=r2,即+()2=22,
解得a=5±. …………9分
∴直线MN的方程为2x–y+5+=0或2x–y+5–=0. …………10分
考点:直线与圆的位置关系
20. (本小题满分12分)
为了参加学校冬季田径运动会100米比赛,某班50名学生进行了一次百米测试,以便进行报名选拔,该50名学生的测试成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率。
参考答案:
略
21. (13分)
已知
求:
参考答案:
解析:
22. 已知函数
(1)求函数的单调递增区间;
(2)内角的对边分别为,若,,,且,试求角和角.
参考答案:
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