2021-2022学年湖南省常德市石门县雁池乡苏市学校高三数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省常德市石门县雁池乡苏市学校高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是（　　） 　 A． ﹣4 B． ﹣2 C． 0 D． 2 参考答案： 考点： 简单线性规划． 专题： 数形结合． 分析： 作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值． 解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分 由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小 由题意可得，当y=﹣2x+z经过点A时，z最小 由可得A（﹣2，2），此时Z=﹣2 故选B． 点评： 本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，明确z的几何意义是解题的关键． 　 2. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 参考答案： A 【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分， 设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：； 下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：． 故选：A． 3. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是(    )      (A)4        (B)5        (C)10        (D)20 参考答案： A 解：设z1=cosθ+isinθ，则zk=z1εk－1，其中ε=cos+isin．ε20=1．ε15=－i，ε10=－1，ε5=i．     ∴ zk1995=(cos1995θ+isin1995θ) ε1995(k－1)= (cos1995θ+isin1995θ)(－i)k－1．     ∴ 共有4个值．选A． 4. 如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（     ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 由三视图还原原几何体如图： 该几何体为四棱锥A﹣BCDE，底面BCDE为矩形，BE=，DE=2，高为1， ∴该几何体的体积为.   5. 已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(     ) A. B. C. D. 参考答案： B 略 6. 在中，分别为内角所对的边，，且满足．若点是外一点， ,，平面四边形    面积的最大值是(  )    A．              B．                     C．3                  D． 参考答案： A 略 7. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（   ） A、1 B、2                C、3 D、4 参考答案： B 8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高x(cm) 160 165 170 175 180 体重y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为(    ) A. 70.09        B. 70.12        C. 70.55         D. 71.05 参考答案： B 9. 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是 A.     B.      C. [-2,2]     D. 参考答案： D 根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A（0，2），B（2，0），C（0，0）， 由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上， 设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）； 则 =（cosθ，sinθ）， 又 + =（2，2）； ∴ ?（ + ）=2cosθ+2sinθ=2 sin（θ+ ）， 当θ+= ，即θ=时， ?（ + ）取得最大值2， 当θ+= ，即θ= 时， ?（ + ）取得最小值﹣2， ∴ ?（ + ）的取值范围是[﹣2，2]． 故选：D．   10. 过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为(     ) A.       B.      C.       D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知且三点共线，则的最小值为_________ 参考答案： 8 12. 已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，， ，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于_______. 参考答案： 略 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是　  　． 参考答案： 2 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=3，则P到准线的距离也为3，即x+1=3，即可求出x． 【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px， ∴p=2， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|PF|=x+1=3， ∴x=2， 故答案为：2． 　 14. 在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,且， 则b=          . 参考答案： 4 15. 已知点在函数（其中，e为自然对数的底数）的图象上，且，，则的最大值为          ． 参考答案： e 由题意得，因数，，所以且，令t=,所以，等号在时成立。所以，填e。   16. 设为正实数，且，则的最小值是       . 参考答案： 【知识点】基本不等式．E6 【答案解析】．  解析：∵log3x+log3y=2，∴log3xy=2，∴xy=9， ∴则≥2=．则的最小值是 ，故答案为：． 【思路点拨】利用基本不等式得≥2，由条件可得xy为定值，从而即可求得的最小值． 17. 已知是的零点，且，则实数a、b、m、n的大小关系是___________         。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆，点，动点P在E上，线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q，Q的轨迹是曲线C． （1）求C的方程； （2）已知过点的直线与C交于A，B两点，M是C与y轴正半轴的交点，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 参考答案： (1) (2)见证明 【分析】 （1）根据椭圆定义确定曲线C性质以及标准方程，（2）先求M坐标，再设直线方程以及A,B坐标，利用斜率公式化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得结果. 【详解】（1）依题意得， 根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E，F为焦点的椭圆， 这里，c=，所以 故C的方程为； （2）证明：根据题意，C的方程为，M是C与y轴正半轴的交点，则M（0，1），显然直线l有斜率，设直线l的方程为 与椭圆方程联立消去y可得：， 变形可得：， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 则，则 ； 故为定值． 【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 19. （10分）在直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2+4x–2y+m=0与直线x–y+–2=0相切． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2，求直线MN的方程． 参考答案： （Ⅰ）x2+y2+4x–2y+1=0（Ⅱ）2x–y+5+=0或2x–y+5–=0 试题分析：（Ⅰ）利用圆心到直线的距离d=r，求出半径，即可求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，则设方程为2x-y+c=0，利用|MN|=，可得圆心到直线的距离即可求直线MN的方程 试题解析：（Ⅰ）圆C的标准方程为(x+2)2+(y–1)2=5–m，        …………1分 圆C的半径r等于圆心C到直线x–y+–2=0的距离， 即r==2，∴ 5–m=4，                    …………3分 ∴m=1，圆C的方程x2+y2+4x–2y+1=0．                    …………5分 （Ⅱ）由题意，可设直线MN的方程为2x–y+a=0，            …………6分 则圆心C到直线MN的距离d=，                 …………7分 由d2+()2=r2，即+()2=22， 解得a=5±．                                           …………9分 ∴直线MN的方程为2x–y+5+=0或2x–y+5–=0．     …………10分 考点：直线与圆的位置关系 20. （本小题满分12分） 为了参加学校冬季田径运动会100米比赛，某班50名学生进行了一次百米测试，以便进行报名选拔，该50名学生的测试成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。 （1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率。   参考答案： 略 21. （13分）  已知  求： 参考答案： 解析： 22. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.   参考答案：