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2021-2022学年福建省南平市峻德中学高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
2. 若命题p:所有有理数都是实数,q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 设,,,,满足,则它们的大小关系是( )
A.GH>G>F C.H>G>F>T D.H>G>T>F
参考答案:
C
4. 函数的定义域( )
A. (0,+∞) B. (-1,+∞)
C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞)
参考答案:
A
【分析】
解不等式即得函数的定义域.
【详解】由题得
所以函数的定义域为.
故选:A
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法,考查对数函数和幂函数的定义域,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 已知某一随机变量的概率分布列如下,且,则的值为( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A B C D
参考答案:
C
略
6. 圆上的点到直线的距离的最小值是( )
A.6 B.4 C.5 D.1
参考答案:
B 解析:
7. 已知在半径为4的球面上有A、 B、 C、 D四个点,且AB=CD=4,则四面体ABCD体积最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 椭圆,为上顶点,为左焦点,为右顶点,且右顶点到直线的距离为,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 如果直线和直线是异面直线,直线,那么直线与( )
A. 异面 B. 相交 C.平行 D. 异面或相交
参考答案:
D
10. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
参考答案:
C
【考点】极差、方差与标准差;分布的意义和作用;众数、中位数、平均数.
【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数,然后利用方差公式求出甲与乙的方差,从而可得到结论.
【解答】解: =×(4+5+6+7+8)=6,
=×(5+5+5+6+9)=6,
甲的成绩的方差为×(22×2+12×2)=2,
以的成绩的方差为×(12×3+32×1)=2.4.
故选:C.
【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式,同时考查了计算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线y=9x2的焦点坐标为 .
参考答案:
(0,)
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先将方程化成标准形式,即x2=y,p=,即可得到焦点坐标.
【解答】解:抛物线y=9x2的方程即x2=y,∴p=,故焦点坐标为 (0,),
故答案为:(0,).
12. 已知且满足,则的最小值为
参考答案:
18
13. 设等边的边长为,是内的任意一点,且到三边的距离分别为,则有为定值。由平面图形的这个特性类比空间图形:设正四面体的棱长为,是正四面体内的任意一点,且到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为,则有为定值____________
参考答案:
14. 观察下列各式:,,,,……,则 .
参考答案:
123
15. 在具有5个行政区域的地图(如图)上,给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色,相邻区域不使用同一颜色,则有__________种不同的着色方法.
参考答案:
48
略
16. 设函数的定义域为,如果对于任意的,存在唯一的,使(为常数)成立,则称函数在上的均值为。下列五个函数:①; ②; ③; ④; ⑤,满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 .
参考答案:
②③⑤
17. 某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且
各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;
③他至少击中目标1次的概率是.
其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)
参考答案:
①③
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
已知点是区域内的点,目标函数的最大值记作,若数列的前n项和为,,且点在直线上。
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前n项和。
参考答案:
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,∴
∵, ∴ ………10分
∴
…………13分
19. (本小题满分14分)已知曲线C:().
(Ⅰ)若曲线C是焦点在轴点上的椭圆,求的取值范围;
(Ⅱ)设,曲线C与轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线:与曲线C交于不同的两点M、N,直线与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
参考答案:
解:(Ⅰ)曲线是焦点在轴点上的椭圆,当且仅当
解得,所以的取值范围是.
(Ⅱ)当时,曲线C的方程为,点A,B的坐标分别为,.
由得.
线与曲线C交于不同的两点M、N,
所以,即.
设点M,N的坐标分别为,,则
,,,.
直线BM的方程为,点G的坐标为.
方法一:由且得,于是
直线AN与直线AG的斜率分别为,,
所以
.即.故A,G,N三点共线.
方法二:则,.欲证三点共线,只需证,共线,即成立,将,代入整理得:,再将,代入,易知等式成立,即,共线,则三点共线得证.
略
20. 在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)当圆心在直线上移动时,求点到圆上的点的最短距离.
参考答案:
解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为
∴圆的方程为:
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为:或者
(2) 当圆心在直线上移动时,点到圆心的最短距离为
则点到圆上的点的最短距离为
略
21. 在直角坐标系xOy中,过点P(1,2)的直线l的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于M,N两点,求的值.
参考答案:
(1)由已知得,消去得,
即,
所以直线的普通方程为;┄┄┄2分
曲线:得,因为,,所以,
整理得,所以曲线的直角坐标方程为;┄┄┄5分
(2)解:把直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程中得:
,即,
设,两点对应的参数分别为,,则,┄┄┄8分
所以。┄┄┄10分
22. (13分)数列{an}满足a1=1,=+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=3n?,求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(1)判断数列{}是等差数列,然后求解通项公式.
(2)利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】(本小题12分)
(1)解:由已知可得﹣=1,….
所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.得=1+(n﹣1)?1=n,
所以an=n2,…
(2)由(1)得an=n2,从而bn=n?3n….
Sn=1×31+2×32+3×33+…+n?3n①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n﹣1)?3n+n?3n+1②
①﹣②得:﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n?3n+1
=﹣n?3n+1=.….
所以Sn=.….
【点评】本题考查数列的通项公式的应用,数列求和的方法,考查计算能力.
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