2021-2022学年湖南省怀化市大水田中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省怀化市大水田中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则 A.－1        B.1       C.－3        D.3 参考答案： B 2. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为                                                （     ） A. 540              B. 300              C. 180            D. 150 参考答案： D 3. 设偶函数在上递减, 则与的大小关系是(    ) A．                                B． C．                                 D．不能确定 参考答案： B 4. 因为i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的周期性、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：i2017=（i4）504?i=i， 复数===+i，则z的共轭复数=﹣i， 故选：B． 5. 已知tan(α+)=2，tan(β﹣)=﹣3，则tan（α﹣β）=（　　） A．1 B．﹣ C． D．﹣1 参考答案： D 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】由条件利用诱导公式求得 tan（β+）=﹣3，再根据tan（α﹣β）=tan[（α+）﹣（β+）]，利用两角差的正切公式计算求得结果． 【解答】解：∵已知，，∴tan（β+）=﹣3， ∴tan（α﹣β）=tan[（α+）﹣（β+）]= = =﹣1， 故选：D． 6. 若i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且2i﹣＝4﹣i，则复数z的模等于（　　） A．5 B．25 C． D． 参考答案： A 由题意，复数的共轭复数满足，所以， 所以复数，所以，故选A.   7. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x﹣c）2+y2=4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为：， ∵渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦长为：2b， ∴b2+b2=4a2， ∴b2=2a2，即c2=3a2， ∴e=． 故选：B． 8. 设表示三条直线，表示三个平面，则下列命题中不成立的是 A. 若∥，则∥ B. 若，∥，则 C. 若，是在内的射影，若，则 D. 若，则 参考答案： D 9. 已知锐角满足，则的最大值为（   ） A．    B．    C．     D． 参考答案： D 略 10. 某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　） A、   B、      C、    D、 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 长方体的八个顶点都在球O的球面上，其中则经过B、C两点的球面距离是______ . 参考答案： 12. 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为          ． 参考答案： 8 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z， 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 由，解得，即A（3，2） 将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y， 得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 13. 已知的终边过点，若，则m=__________． 参考答案： 【分析】 】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】∵的终边过点，若， ． 即答案为-2.   14. 已知函数f（x）=，则f（x）dx=          ． 参考答案： 【考点】定积分． 【分析】根据微积分基本定理求出即可． 【解答】解：∵根据定积分的几何意义，就等于单位圆的面积的四分之一， ∴= 又==， ∴f（x）dx=+=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题． 15. 已知函数f(x－1)＝2x2－x，则＝                。 参考答案： 4x＋3 略 16. （几何证明选讲选做题）如图4，是圆外一点，过引圆的两条割线、，，，则____________．                                                                         参考答案： 2 17. 函数的定义域是            ． 参考答案： （﹣∞，﹣1]∪[0，+∞） 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据分式函数的定义域求法求定义域即可． 【解答】解：要使函数有意义，则x2+x≥0，解得x≥0或x≤﹣1． 即函数的定义域为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）． 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值. 参考答案： （I）见解析；（II）. 【分析】 （I）先证明，再证明；（II）在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q， 证明OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，, ∴在等腰中， ∴,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE， 翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又，， ； （II）解：在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q， 因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ， 因为OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O ∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为， 又因为OP=OB，∴OP⊥OB， ∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE， 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为, 设平面PCE的一个法向量为， 则 设，则y=-1,z=1， ∴， 由题意得平面PAE的一个法向量， 设二面角A-EP-C为，. 易知二面角A-EP-C为钝角，所以. 【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力. 19. 如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点 作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心 点到抛物线准线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距为，求的最小值． 参考答案： （1）∵点到抛物线准线的距离为， ∴，即抛物线的方程为．----------------------------------------------2分 （2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴， 设，， ∴，   ∴ ， ∴．    ．--------------------7分 法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为， 联立方程组，得， ∵   ∴，． 同理可得，，∴．---------------------------7分 （3）法一：设，∵，∴， 可得，直线的方程为， 同理，直线的方程为， ∴，， ∴直线的方程为， 令，可得， ∵关于的函数在单调递增，   ∴．------------------------------14分 法二：设点，，． 以为圆心，为半径的圆方程为， ① ⊙方程：． ② ①-②得： 直线的方程为． 当时，直线在轴上的截距， ∵关于的函数在单调递增，   ∴． ------------------------14分 20. （本小题满分14分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知， (1)求的值 (2)若，△ABC的面积为9，求边长a的值 参考答案： 解：(1)由tan（＋A）＝2，得tan A＝， 所以……………………..6分 (2)由tan A＝，A∈(0，π)，得 sin A＝，cos A＝……………….8分 由sin C＝sin(A＋B)＝， 得sin C＝……………………….10分 设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝9. 又由及正弦定理，……………..12分 解得…………………………………………14分 21. （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a，b，c∈R，且 参考答案： 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想. 22. 已知函数的最小正周期为 （Ⅰ）求函数单调减区间； （Ⅱ）设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值.   参考答案： 16．(本小题满分12分)