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2021年河北省承德市中学南双洞分校高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,则
A. B.0 C.1 D.2
参考答案:
【知识点】分段函数求值;对数的运算.B1 B7
D 解析:由得,即,于是.故选D.
【思路点拨】先由得出,再计算出结果即可。
2. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 实数m满足方程,则有
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 主视图为矩形的几何体是
参考答案:
A
略
5.
已知:有极大值和极小值,则的取值范围为
A、或 B、
C、 D、或
参考答案:
D
6. 下列说法正确的是( )
A.若命题:,,则:,
B.已知相关变量满足回归方程,若变量增加一个单位,则平均增加4个单位
C.命题“若圆:与两坐标轴都有公共点,则实数”为真命题
D.已知随机变量,若,则
参考答案:
C
命题的否定是,A错误;
相关变量满足回归方程,若变量增加一个单位,则平均减少4个单位,B错误;
若圆与两坐标轴都有公共点,则,解得,C正确;
随机变量,若,则,D错误.
故选C.
7. 若是的重心,分别是角的对边,则角 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 下图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论错误的是
A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
参考答案:
C
【分析】
根据折线图提供的信息逐个选项验证可得.
【详解】对于选项A,从图可以看出同比涨跌幅均为正数,故A正确;
对于选项B,从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数,故B正确;
对于选项C,从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份,故C错误;
对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快,故D正确.
【点睛】本题主要考查统计图表是识别,根据折线图研究统计结论,侧重考查数据分析的核心素养.
9. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的的外接球的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
根据题意,一定有∠PF1F2=30°,且∠PF2x=60°,故直线PF2的倾斜角是,设直线x=a与x轴的交点为M,则|PF2|=2|F2M|,又|PF2|=|F1F2|,所以|F1F2|=2|F2M|.所以2c=2,即4c=3a,故e==.故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,,则△ABC的面积等于 。
参考答案:
12. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的,若输入,则输出的值为_____.
参考答案:
13
由输入,代入程序框图计算可得输出的的值为13.
13. (2009湖南卷文)在的展开式中,的系数为 (用数字作答).
参考答案:
6
解析: ,故得的系数为
14. 已知数列满足,(,),且是递减数列,是时递增数列,则__________.
参考答案:
111.Com]
由于是递减数列,因此,于是①因为,所以②.由①②知.因为③逆增数列,所以,所以.于是
所以.故填.
15. 设函数是定义在上的周期为2的偶函数,当时,,
则=_______________.
参考答案:
16. 已知,则的最小值为
参考答案:
4
17. 若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是,则(其中是虚数单位,)的值是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知,.
(1)求在上的最小值;
(2)若对一切,成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ),令.
当单调递减;
当单调递增.
,
(1)当;
(2)当
所以 …………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由得.
设,则. 令,得或(舍),当时,,h(x)单调递减;当时,,h(x)单调递增,所以 所以 …………………………………(12分)
19. 已知函数在点(1,f(1))处的切线方程为x+y=2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对函数f(x)定义域内的任一个实数x,都有xf(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据切线方程得到关于a,b的方程组,解出即可;
(Ⅱ)求出f(x)的解析式的导数,得到<m,令g(x)=,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出m的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=,
而点(1,f(1))在直线x+y=2上,∴f(1)=1,
又直线x+y=2的斜率为﹣1,∴f′(1)=﹣1,
故有,解得:
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=(x>0),由xf(x)<m,得:<m,
令g(x)=,g′(x)=,
令h(x)=1﹣x﹣lnx,则h′(x)=﹣1﹣<0,(x>0),
∴h(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
∴当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,当x>1时,h(x)<h(1)=0,
从而当0<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数,
故g(x)max=g(1)=1,
要使<m成立,只需m>1,故m的取值范围是(1,+∞).
20. 已知函数,,且的解集为
(1)求的值;
(2)若、、,且,求证:
参考答案:
21. 已知函数f(x)=++bx+c的图象经过坐标原点,且在x=1处取得极大值.
(I)求实数a的取值范围;
(II)若方程f(x)=0恰好有两个不同的根,求f(x)的解析式.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系.
【专题】函数思想;转化法;导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的方程,根据函数的极值,求出a的范围即可;
(Ⅱ)解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出函数的极值,从而求出a的值,求出函数的解析式即可.
【解答】解:(I)由f(0)=0,解得:c=0,
故f′(x)=x2+ax+b,f′(1)=0,得:b=﹣a﹣1,
∴f′(x)=(x﹣1)(x+a+1),
由f′(x)=0,解得:x=1或x=﹣a﹣1,因为当x=1时取得极大值,
所以﹣a﹣1>1,得:a<﹣2,所以a的范围是(﹣∞,﹣2); …
(II)由下表:
x
(﹣∞,1)
1
(1,﹣a﹣1)
﹣a﹣1
(﹣a﹣1,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
递增
极大值﹣a﹣
递减
极小值(a+)(a+1)2
递增
依题意得:(a+)(a+1)2=0,解得:a=﹣4,
所以函数f(x)的解析式是:f(x)=x3﹣2x2+3x …(12分)
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道中档题.
22. (本小题满分13分)
在△ABC中,、b、c分别为角A、B、C的对边. 已知 (其中C为锐角)
(1)求边c的值;(2)求sin(C-A)的值
参考答案:
解:(Ⅰ) …………2分
又………5分
…………………………………………6分
(Ⅱ)
在△ABC中,…………8分
∴,且C为锐角,b﹥∴A必为锐角,∴…11分
∴……13分
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