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2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳夏塘中学高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
依据正切函数的定义域,代换即可求出。
【详解】因为的定义域为,
所以由,解得,故选C。
【点睛】本题主要考查正切函数的定义域,属于基础题.
2. 全集U=N 集合A={x|x=2n,nN},B={x|x=4n,nN}则( )
A U=A∪B B (CUA)B C U= A∪CUB D BA
参考答案:
C
略
3. 已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式恒成立的是( )
A.a2>b2 B.>1 C.lg(a﹣b)>0 D.()a<()b
参考答案:
D
【考点】3R:函数恒成立问题.
【分析】利用不等式的性质与函数的单调性质,通过特值排除,对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可.
【解答】解:对于A,令a=0,b=﹣1,02=0,(﹣1)2=1,满足a>b,但不满足a2>b2,故A错误;
对于B,令a=0,b=﹣1, ==0<1,故B错误;
对于C,令a=0,b=﹣1,lg(a﹣b)=lg1=0,故C错误;
对于D,y=()x为减函数,故当a>b时,()a<()b,故D正确;
综上所述,以上四个不等式恒成立的是D.
故选:D.
4. 如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,,,则△ABC周长的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
分析:由得B角是钝角,由等差中项定义得A为60°,再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围.
详解:∵是和的等差中项,∴,∴,
又,则,从而,∴,
∵,∴,
所以的周长为,
又,,,∴.
故选B.
点睛:本题考查解三角形的应用,解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来,结合三角函数的恒等变换可求得取值范围.解题易错的是向量的夹角是B角的外角,而不是B角,要特别注意向量夹角的定义.
6. 下列结论正确的是 ( )
A.当时, B.的最小值为
C. 当时, D.当时,的最小值为
参考答案:
D
7. 已知点在第三象限,则角在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
D
【分析】
由题意可得且,分别求得的范围,取交集即得答案。
【详解】由题意,,
由①知,为第三、第四或轴负半轴上的角;
由②知,为第二或第四象限角.
则角在第四象限,故选.
【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号。
8. 已知,且,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
先根据已知条件求得值,然后求得的值,由此求得题目所求表达式的值.
【详解】依题意,由及,解得,故,故选B.
【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式,考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,考查运算求解能力,属于基础题.
9. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么△ABC是一个( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
参考答案:
A
【考点】斜二测法画直观图.
【分析】根据“斜二测画法”的画图法则,结合已知,可得△ABC中,BO=CO=1,AO=,结合勾股定理,求出△ABC的三边长,可得△ABC的形状.
【解答】解:由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1,A′O′=,
∴△ABC中,BO=CO=1,AO=,
由勾股定理得:AB=AC=2,
又由BC=2,
故△ABC为等边三角形,
故选:A
10. 函数的周期是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,,那么x<0时,
f(x)=
参考答案:
12. 已知幂函数的图象过点,则实数的值是 .
参考答案:
因为幂函数的图象过点,所以,,故答案为.
13. 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+2,则f(1)+g(1)的值等于______.
参考答案:
2
【分析】
由已知可得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),结合f(x)-g(x)=x3+x2+2,可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2,代入x=-1即可求解.
【详解】f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
∵f(x)-g(x)=x3+x2+2,
∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2,
则f(1)+g(1)=-1+1+2=2.
故答案为:2
【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值,属于基础试题.
14. 已知两个数列x,a1,a2,a3,y与x,b1,b2,y都是等差数列,且x≠y,则的值为________.
参考答案:
15. 若x>0,y>0,且y=,则x+y的最小值为 .
参考答案:
18
16. = _____________
参考答案:
17. 已知函数为奇函数,若,则=_________.
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知二次函数的最小值为1,且.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
参考答案:
(1)由已知,设,由,得,
故。
(2)要使函数不单调,则,则。
(3)由已知,即,化简得,
设,则只要,
而,得。
19. (本小题满分12分)
已知是定义在上的奇函数,且,若时,有成立.
(1)判断在上的单调性,并证明;
(2)解不等式:;
(3)若当时,对所有的恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)任取,且,则,ks5u
又为奇函数,
,
由已知得
即.
在上单调递增.
(2)在上单调递增,
不等式的解集为
(3)在上单调递增,
在上,
问题转化为,即对恒成立,求的取值范围.
下面来求的取值范围.
设
1若,则,自然对恒成立.
2若,则为的一次函数,若对恒成立,
则必须,且,或.
的取值范围是或.
略
20. 已知数列{an}满足:,,数列{bn}满足:()。
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn,并比较Sn与2的大小.
参考答案:
(1)见证明;(2)见解析
【分析】
(1)将原式变形为,进而得到结果;(2)根据第一问得到,错位相减得到结果.
【详解】(1)由条件得,易知,两边同除以得,又,
故数列是等比数列,其公比为。
(2)由(1)知,则
……①
……②
两式相减得
即。
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
21. (本题满分10分)某同学大学毕业后在一家公司上班,工作年限和年收入(万元),有以下的统计数据:
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5
(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;
(Ⅱ)根据上表提供的数据,用最小二乘法求得关于的线性回归方程为
求的值;
(Ⅲ)请你估计该同学第8年的年收入约是多少?
参考答案:
(1)
略 ………4分
(Ⅱ), ………7分
10分
22. 如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中(侧棱垂直于底面的四棱柱为直四棱柱),底面四边形ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD,AB=BC=1,且AD=AA1=2.
(1)求证:平面CDD1C1⊥平面ACD1;
(2)求三棱锥A1﹣ACD1的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)在底面四边形ABCD内过C作CE⊥AD于E,由已知求得AC=,CD=,则AC2+DC2=AD2,得AC⊥CD.再由题意知CC1⊥平面ABCD,从而AC⊥CC1,由线面垂直的判定可得AC⊥平面CDD1C1,进一步得到平面CDD1C1⊥平面ACD1;
(2)由三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的,利用等积法求出三棱锥C﹣AA1D1的体积即可.
【解答】(1)证明:在底面四边形ABCD内过C作CE⊥AD于E,
由底面四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB=BC=1,以及AD=2,可得AC=,CE=1,
则CD=,
∴AC2+DC2=AD2,得AC⊥CD.
又由题意知CC1⊥平面ABCD,从而AC⊥CC1,而CC1∩CD=C,∴AC⊥平面CDD1C1,
又AC?平面ACD1,
∴平面CDD1C1⊥平面ACD1;
(2)解:∵三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的,
故只需求三棱锥C﹣AA1D1的体积即可,
而CE⊥AD,且由AA1⊥平面ABCD,可得CE⊥AA1,
又∵AD∩AA1=A,∴有CE⊥平面ADD1A1,即CE为三棱锥C﹣AA1D1的高.
故.
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