2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳夏塘中学高一数学文联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳夏塘中学高一数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 依据正切函数的定义域，代换即可求出。 【详解】因为的定义域为， 所以由，解得，故选C。 【点睛】本题主要考查正切函数的定义域,属于基础题. 2. 全集U=N 集合A={x|x=2n,nN}，B={x|x=4n,nN}则（  ） A  U=A∪B   B  (CUA)B   C  U= A∪CUB    D BA 参考答案： C 略 3. 已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a2＞b2 B．＞1 C．lg（a﹣b）＞0 D．（）a＜（）b 参考答案： D 【考点】3R：函数恒成立问题． 【分析】利用不等式的性质与函数的单调性质，通过特值排除，对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可． 【解答】解：对于A，令a=0，b=﹣1，02=0，（﹣1）2=1，满足a＞b，但不满足a2＞b2，故A错误； 对于B，令a=0，b=﹣1， ==0＜1，故B错误； 对于C，令a=0，b=﹣1，lg（a﹣b）=lg1=0，故C错误； 对于D，y=（）x为减函数，故当a＞b时，（）a＜（）b，故D正确； 综上所述，以上四个不等式恒成立的是D． 故选：D． 4. 如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD，则sinC的值为（    ） A．　 B．  　C．  D． 参考答案： D 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，，，则△ABC周长的取值范围是　　 A. B. C. D. 参考答案： B 分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围． 详解：∵是和的等差中项，∴，∴， 又，则，从而，∴， ∵，∴， 所以的周长为， 又，，，∴． 故选B． 点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义． 6. 下列结论正确的是  (       ) A．当时， B．的最小值为 C. 当时，           D．当时，的最小值为 参考答案： D 7. 已知点在第三象限，则角在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： D 【分析】 由题意可得且，分别求得的范围，取交集即得答案。 【详解】由题意，， 由①知，为第三、第四或轴负半轴上的角； 由②知，为第二或第四象限角． 则角在第四象限，故选． 【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号。 8. 已知，且，则等于（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先根据已知条件求得值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值. 【详解】依题意，由及，解得，故，故选B. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题. 9. 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么△ABC是一个（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 参考答案： A 【考点】斜二测法画直观图． 【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状． 【解答】解：由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=， ∴△ABC中，BO=CO=1，AO=， 由勾股定理得：AB=AC=2， 又由BC=2， 故△ABC为等边三角形， 故选：A 10. 函数的周期是   A．              B．              C．            D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，，那么x<0时， f(x)=               参考答案： 12. 已知幂函数的图象过点，则实数的值是          ． 参考答案： 因为幂函数的图象过点，所以，，故答案为.   13. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______． 参考答案： 2 【分析】 由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解． 【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数， ∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， ∵f(x)-g(x)=x3+x2+2， ∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2， 则f(1)+g(1)=-1+1+2=2． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题． 14. 已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则的值为________． 参考答案： 15. 若x>0,y>0,且y=,则x+y的最小值为        ． 参考答案： 18 16. = _____________ 参考答案： 17.  已知函数为奇函数，若，则＝_________. 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； 参考答案： （1）由已知，设，由，得， 故。 （2）要使函数不单调，则，则。 （3）由已知，即，化简得，  设，则只要， 而，得。 19. (本小题满分12分) 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立. （1）判断在上的单调性，并证明； （2）解不等式：； （3）若当时，对所有的恒成立，求实数的取值范围.   参考答案： （1）任取，且，则，ks5u           又为奇函数，           ，         由已知得        即.        在上单调递增.  （2）在上单调递增，            不等式的解集为  （3）在上单调递增，      在上， 问题转化为，即对恒成立，求的取值范围. 下面来求的取值范围. 设 1若，则，自然对恒成立. 2若，则为的一次函数，若对恒成立， 则必须，且，或. 的取值范围是或. 略 20. 已知数列{an}满足：，，数列{bn}满足：（）。 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列{bn}的前n项和Sn，并比较Sn与2的大小. 参考答案： （1）见证明；（2）见解析 【分析】 (1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果. 【详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又， 故数列是等比数列，其公比为。 （2）由（1）知，则 ……① ……② 两式相减得 即。 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 21. （本题满分10分）某同学大学毕业后在一家公司上班，工作年限和年收入（万元），有以下的统计数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （Ⅰ）请画出上表数据的散点图； （Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求得关于的线性回归方程为 求的值； （Ⅲ）请你估计该同学第8年的年收入约是多少？ 参考答案： （1）          略          ………4分 （Ⅱ），        ………7分 10分   22. 如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中（侧棱垂直于底面的四棱柱为直四棱柱），底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1，且AD=AA1=2． （1）求证：平面CDD1C1⊥平面ACD1； （2）求三棱锥A1﹣ACD1的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）在底面四边形ABCD内过C作CE⊥AD于E，由已知求得AC=，CD=，则AC2+DC2=AD2，得AC⊥CD．再由题意知CC1⊥平面ABCD，从而AC⊥CC1，由线面垂直的判定可得AC⊥平面CDD1C1，进一步得到平面CDD1C1⊥平面ACD1； （2）由三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的，利用等积法求出三棱锥C﹣AA1D1的体积即可． 【解答】（1）证明：在底面四边形ABCD内过C作CE⊥AD于E， 由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，以及AD=2，可得AC=，CE=1， 则CD=， ∴AC2+DC2=AD2，得AC⊥CD． 又由题意知CC1⊥平面ABCD，从而AC⊥CC1，而CC1∩CD=C，∴AC⊥平面CDD1C1， 又AC?平面ACD1， ∴平面CDD1C1⊥平面ACD1； （2）解：∵三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的， 故只需求三棱锥C﹣AA1D1的体积即可， 而CE⊥AD，且由AA1⊥平面ABCD，可得CE⊥AA1， 又∵AD∩AA1=A，∴有CE⊥平面ADD1A1，即CE为三棱锥C﹣AA1D1的高． 故．