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河南省焦作市修武县第一中学分校高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则f(-3)的值为
A.2 B.8 C. D.
参考答案:
D
2. 输入两个数执行程序后,使则下面语句程序正确的是
参考答案:
B
略
3. 如图设点O在△ABC内部,且有,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 定义域为R的偶函数f(x)满足:对任意x∈R都有f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x-1,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为 ( )
A.(0,) B.(,1) C.(0,) D.(,1)
参考答案:
C
5. 函数的零点所在的一个区间为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
6. 小王同学为了测定在湖面上航模匀速航行的速度,采用如下方法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80米,当航模在C处时,测得和,经过20秒后,航模直线航行到D处,测得和,则航模的速度为( )米/秒
A. B. 4 C. D.
参考答案:
D
【分析】
在△ABD中,由正弦定理求出,在△ABC中,由正弦定理求得,在△BCD中,由余弦定理求出,进而求出速度.
【详解】由条件可知,在△ABD中,,
,
在△ABC中,,
根据正弦定理有,
即,在△BCD中,
,
所以航模的速度为(米/秒),故选D.
【点睛】本题考查三角形中的边角关系,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题。
7. 如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)…,设第n个图形的边长为an,则数列{an}的通项公式为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
分析:观察得到从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以为公比的等比数列,根据等比数列的通项写出即可.
详解:由题得,从第二个图形起,每一个三角形的边长组成了以1为首项,以为公比的等比数列,所以第个图形的边长为=.
故选D.
8. 已知函数f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),且对任意的x1∈[﹣1,2],都存在x2∈[﹣1,2],使f(x2)=g(x1),则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞) B.(0,3] C.[,3] D.(0,]
参考答案:
D
【考点】二次函数的性质.
【分析】确定函数f(x)、g(x)在[﹣1,2]上的值域,根据对任意的x1∈[﹣1,2]都存在x2∈[﹣1,2],使得g(x1)=f(x2),可g(x)值域是f(x)值域的子集,从而得到实数a的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线,且关于直线x=1对称
∴x1∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为f(1)=﹣1,最大值为f(﹣1)=3,
可得f(x1)值域为[﹣1,3]
又∵g(x)=ax+2(a>0),x2∈[﹣1,2],
∴g(x)为单调增函数,g(x2)值域为[g(﹣1),g(2)]
即g(x2)∈[2﹣a,2a+2]
∵对任意的x1∈[﹣1,2]都存在x2∈[﹣1,2],使得g(x1)=f(x2)
∴,
∴0<a≤,
故选:D.
9. 可作为函数的图象的是
参考答案:
D
10. 下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,若a = 2 ,, , 则B等于
参考答案:
或
略
12. 已知函数f(x)=sinx﹣cosx,则= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数;函数的值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用两角差的正弦公式化简函数f(x)的解析式,从而求得f()的值.
【解答】解:∵函数f(x)=sinx﹣cosx=sin(x﹣),
则=sin(﹣)=﹣=﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题.
13. 已知函数,若,则 .
参考答案:
14. 已知函数,则f(x)的最小正周期是 ,当时,f(x)的取值范围是 .
参考答案:
π,[0,1]
∵函数,∴函数f(x)的最小正周期T=π;
由,得,∴f(x)的取值范围是
15. 在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为 ▲ .
参考答案:
()
16. 已知{an}是递增数列,且对任意nN+,都有an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是 。
参考答案:
略
17. _____.
参考答案:
【知识点】诱导公式
【试题解析】因为
故答案为:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)设是等差数列的前项和,且,。
(1)、求数列的通项公式;
(2)、若数列满足,且,设数列的前项和为,求证:。
参考答案:
(1)
(2),
得证
19. 已知关于x的不等式(kx﹣k2﹣4)(x﹣4)>0,其中k∈R;
(1)当k=4时,求上述不等式的解集;
(2)当上述不等式的解集为(﹣5,4)时,求k的值.
参考答案:
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】(1)k=4时不等式化为(4x﹣16﹣4)(x﹣4)>0,求出解集即可;
(2)不等式的解集为(﹣5,4)时,有,从而求出k的值.
【解答】解:(1)关于x的不等式(kx﹣k2﹣4)(x﹣4)>0,
当k=4时,不等式化为(4x﹣16﹣4)(x﹣4)>0,
解得x<4或x>5,
所以不等式的解集为(﹣∞,4)∪(5,+∞);
(2)当不等式(kx﹣k2﹣4)(x﹣4)>0的解集为(﹣5,4)时,
有,
解得k=﹣1或k=﹣4.
20. 已知向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),=(﹣1,0).
(1)求向量的长度的最大值;
(2)设α=,且⊥(),求cosβ的值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;向量的模;数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】(1)利用向量的运算法则求出,利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方,利用三角函数的平方关系将其化简,利用三角函数的有界性求出最值.
(2)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用两角差的余弦公式化简得到的等式,求出值.
【解答】解:(1)=(cosβ﹣1,sinβ),则
||2=(cosβ﹣1)2+sin2β=2(1﹣cosβ).
∵﹣1≤cosβ≤1,
∴0≤||2≤4,即0≤||≤2.
当cosβ=﹣1时,有|b+c|=2,
所以向量的长度的最大值为2.
(2)由(1)可得=(cosβ﹣1,sinβ),
()=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos(α﹣β)﹣cosα.
∵⊥(),
∴()=0,即cos(α﹣β)=cosα.
由α=,得cos(﹣β)=cos,
即β﹣=2kπ±(k∈Z),
∴β=2kπ+或β=2kπ,k∈Z,于是cosβ=0或cosβ=1.
【点评】本题考查向量模的性质:向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件;三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式.
21. 运行右图所示的程序框图,当输入实数的值为时,输出的函数值为;当输入实数的值为时,输出的函数值为.
(Ⅰ)求实数,的值;并写出函数的解析式;
(Ⅱ)求满足不等式的的取值范围. Ks5u
参考答案:
解:(Ⅰ)∵,
∴,
∴.………………………………………………………………………………2分
∵,
∴,
∴.………………………………………………………………………………4分
∴.………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
①当时,,∴…………………………………………8分
②当时,,∴…………………………………………11分
∴满足不等式的的取值范围为或.……………………13分
(说明:结果写成区间或不等式都对.)
22. 已知函数R,且.
(1)当时,若函数存在单调递减区间,求的取值范围;
(2)当且时,讨论函数的零点个数.
参考答案:
解析:(1)当时,函数,其定义域是,
∴.
函数存在单调递减区间,
∴在上有无穷多个解.
∴关于的不等式在上有无穷多个解.
① 当时,函数的图象为开口向上的抛物线,
关于的不等式在上总有无穷多个解.
② 当时,函数的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为
.要使关于的不等式在上有无穷多个解.
必须,
解得,此时.
综上所述,的取值范围为.
另解:分离系数:不等式在上有无穷多个解,
则关于的不等式在上有无穷多个解,
∴,即,而.
∴的取值范围为.
(2)当时,函数,其定义域是,
∴.
令,得,即,
,
,,则,
∴
当时,;当1时,.
∴函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
∴当时,函数取得最大值,其值为.
① 当时,,若, 则, 即.
此时,函数与轴只有一个交点,故函数只有一个零点;
② 当时,,又,
,
函数与轴有两个交点,故函数有两个零点;
③ 当时,,函数与轴没有交点,故函数没有零点.
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