2021年广东省潮州市怀慈中学高一数学文期末试题含解析

2021年广东省潮州市怀慈中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=ax2﹣c满足：﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，则f（3）应满足（　　） A．﹣7≤f（3）≤26 B．﹣4≤f（3）≤15 C．﹣1≤f（3）≤20 D． 参考答案： C 【考点】3W：二次函数的性质． 【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可． 【解答】解：∵﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5， ∴， 作出可行域如图所示： 令z=f（3）=9a﹣c，则c=9a﹣z， 由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时，截距最大，z取得最小值， 当直线c=9a﹣z经过点B时，截距最小，z取得最大值． 联立方程组可得A（0，1）， ∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1， 联立方程组，得B（3，7）， ∴z的最大值为9×3﹣7=20． ∴﹣1≤f（3）≤20． 故选C． 【点评】本题考查了简单线性规划及其变形应用，属于中档题． 2. 某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为       双． A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200 参考答案： D 【分析】 根据成等差可得，从而求得第二车间抽取的产品数在抽样产品总数中的比例，根据分层抽样性质可求得结果. 【详解】成等差数列    第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的比例为： 第二车间生产的产品数为：双 本题正确选项：D 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样的问题，属于基础题. 3. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 A．(1,8)   B．(1,+∞) C．(4,8) D．[4,8) 参考答案： D 4. 设集合，则图中阴影 部分表示的集合为 A．         B． C．         D． 参考答案： B 略 5. 等比数列中, 则=                       （   ）  A．27     B．63     C．81      D．120  参考答案： C 6. 设函数，则 ( 　   ) A．在定义域内没有零点            B.有两个分别在(-∞,2011)、(2012,+∞)内的零点 C. 有两个在(2011,2012)内的零点   D.有两个分别在(-∞,-2012)、(2012,+∞)内的零点 参考答案： C 略 7. 若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集． 【解答】解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}， 得到M∩N={0，1}． 故选A 8. 设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则A×B等于（   ） A．；B．；C．；D． 参考答案： D 9. 从4名男生和3名女生中选出4人参加数学竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同的选法 共有（    ）  (A)140种               (B)180种               (C)35种               (D)34种 参考答案： D 略 10. 已知函数f（x）=x+x3，x1，x2，x3∈R，x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，那么f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（　　） A．一定大于0 B．等于0 C．一定小于0 D．正负都有可能 参考答案： A 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）的解析式便可看出f（x）为奇函数，且在R上单调递增，而由条件可得到x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，从而可以得到f（x1）＞﹣f（x2），f（x2）＞﹣f（x3），f（x3）＞﹣f（x1），这样这三个不等式的两边同时相加便可得到f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0，从而可找出正确选项． 【解答】解：f（x）为奇函数，且在R上为增函数； ∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0； ∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1； ∴f（x1）＞﹣f（x2），f（x2）＞﹣f（x3），f（x3）＞﹣f（x1）； ∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞﹣[f（x1）+f（x2）+f（x3）]； ∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0． 故选：A． 【点评】考查奇函数和增函数的定义，根据奇函数、增函数的定义判断一个函数为奇函数和增函数的方法，以及不等式的性质． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正实数x，y满足，则xy的最大值为  ▲  ． 参考答案： ； 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则an =______. 参考答案： 【分析】 利用和的关系计算得到答案. 【详解】 当时， 满足通项公式 故答案为 【点睛】本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误. 13. 过原点作圆的两条切线,设切点分别为,则线段 的长为           . 参考答案： 4 14. 已知，，且，则的最小值是______. 参考答案： 25 【分析】 由条件知,结合”1”的代换,可得,展开后结合基本不等式,即求得的最小值． 【详解】因为,, 所以 当且仅当时取等号, 所以 故答案为：25 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用,注意”1”的代换.使用基本不等式,需注意”一正二定三相等”的原则,属于基础题. 15. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃. 参考答案： 20.5 【分析】 根据题意列出方程组，求出，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将代入求出10月份的平均气温值． 【详解】据题意得， 解得， 所以 令得. 故答案为：20.5 【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，根据解析式求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16. 圆x2+y2+4x-4y-1=0的半径为__________。 参考答案： 3 17. 设，，，则a，b，c由小到大的顺序为　  　． 参考答案： c＜a＜b 【考点】不等关系与不等式；指数函数的图象与性质；对数值大小的比较． 【分析】由0＜sin，cos，tan＜1及幂函数、指数函数、对数函数的图象或性质即可比较出a，b，c的大小． 【解答】解：∵，∴0，即c＜0； ∵，∴0＜＜1，即0＜a＜1； ∵tan＞0，∴，即b＞1． 故c＜a＜b． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}满足，且是的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使成立的最大正整数n的值. 参考答案： (1) (2)8 【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意列出有关和的方程组，可解出和的值，从而可求出数列的通项公式； （2）先得出，利用裂项法求出数列的前项和，然后解不等式，可得出的取值范围，于此可得出的最大值。 【详解】（1）设等差数列的公差为，，即， ∴， 是，的等比中项， ∴，即，解得 ∴数列的通项公式为； （2）由（1）得 ∴ . 由，得，∴使得成立最大正整数的值为8. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项求和法，解等差数列的通项公式，一般是利用方程思想求出等差数列的首项和公差，利用这两个基本两求出等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题。 19. 已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】（Ⅰ）依题意知，{an}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{an}的通项公式；当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求Tn． 【解答】解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足an+1﹣an=2， ∴{an}是公差为2的等差数列，又a1=3， ∴an=2n+1； 当n=1时，b1=S1=4；      当n≥2时， bn=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1， 对b1=4不成立． ∴数列{bn}的通项公式：bn=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==， 当n≥2时， ==（﹣）， ∴Tn=+ [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）] =+（﹣） =+， 当n=1时仍成立．                      ∴Tn=+对任意正整数n成立． 20. 某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。 （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。   参考答案： 21. 某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组. （1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数； （2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率； （3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由. 参考答案： (1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析 【分析】 （1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解 （2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可 （3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解 【详解】（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人 （2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种， ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 （3）， ， 因，所以第二位同学的实验更稳定. 【点睛】本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题 22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，为等边三角形，且平面