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河南省周口市龙水实验中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (理)如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知,则
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
由,故选B.
3. 当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 已知,且),且,则在同一坐标系内的大致图象是
参考答案:
B
5. 在等比数列中,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
6. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 ( )
A..4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
参考答案:
C
7. 椭圆的左右焦点分别为,若椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
当点P位于椭圆的两个短轴端点时,为等腰三角形,此时有2个。,若点不在短轴的端点时,要使为等腰三角形,则有或。此时。所以有,即,所以,即,又当点P不在短轴上,所以,即,所以。所以椭圆的离心率满足且,即,所以选D.
8. 若,是第三象限的角,则=
A. B. C. D.-2
参考答案:
D
略
9. 某商场举办新年购物抽奖活动,先将160名顾客随机编号为001,002,003,…,160,采用系统抽样的方法抽取幸运顾客,已知抽取的幸运顾客中最小的两个编号为007,023,那么抽取的幸运顾客中
最大的编号应该是( )
A.151 B.150 C.143 D.142
参考答案:
A
10. 已知m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是( )
A. 若,,,,则
B. 若,,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
参考答案:
B
【分析】
根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.
【详解】A选项,若,,,,则或与相交;故A错;
B选项,若,,则,又,是两个不重合的平面,则,故B正确;
C选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;
D选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故D错;
故选B
【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若曲线与直线(),所围成封闭图形的面积为,则 .
参考答案:
考点:积分
由题知:
故答案为:
12. 如图所示,在中,为边上的一点,且,若(),则_____________.
参考答案:
【分析】本题考察向量的线性表示,属于常规问题,难度适中,可以通过两个思路去解决问题,第一,利用几何关系处理问题,通过建立平行线寻找几个向量的关系;第二,则可以使用向量之间的相互表达的手段去处理,或者直接使用共线定理(即:若共线,且,则)。
【解】
方法一:由于,则,其中,,那么可转化为,可以得到,即,则,那么,故填.
方法二:直接利用共线定理,,则,则,则,那么,故填.
方法三:利用几何方法,如右图所示构造辅助线,做的三等分点,根据平行线等分定理则,在新构造的中,,又,,那么,可以得到,则,那么,故填.
13. 已知函数的定义域[-1,5],部分对应值如表,的导函数的图象如图所示,下列关于函数的命题:
①函数的值域为[1,2];
②函数在[0,2]上是减函数;
③当时,函数最多有4个零点;
④如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4.
其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①②③
14. 设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若,则点的坐标是
参考答案:
15. 在△ABC中, ,则cosB=_______.
参考答案:
【分析】
根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得
由余弦定理可得
故答案为:
【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理,属于基础题.
16. (13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
参考答案:
17. 若,则
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题10分)选修4-4:参数方程选讲
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.
参考答案:
(1)由曲线。得
两式两边平方相加得:
即曲线的普通方程为:
由曲线:得:
即,所以
即曲线的直角坐标方程为: ……………………………5分
(2) 由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为
所以当时,的最小值为,此时点的坐标为………10分
19. 数列的前n项和记为,,点在直线上,n∈N*.
(1)当实数t为何值时,数列是等比数列?
(2)在(1)的结论下,设,是数列的前n项和,求的值.
参考答案:
(1)由题意得,,(2分)两式相减,得,所以,当时,是等比数列,(4分)要使时,是等比数列,则只需,从而得出.(6分)
(2)由(1)得知,,(8分),(10分)
.(12分)
20.
(14分) 已知椭圆,经过点(3,—2)与向量(—1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
(I)求椭圆C长轴长的取值范围;
(II)若,求椭圆C的方程.
参考答案:
解析:(I)设直线l与椭圆C交于点.
由 …………2分
将……①
由韦达定理,知
得 …………④ …………5分
对方程①由…………⑤
将④代入⑤,得意 …………12分
又由及④,得 …………7分
因此所求椭圆长轴长的取值范围是 …………9分
(II)由(I)中②③得,
…………11分
…………⑥
联立④⑥,解得
∴椭圆C的方程为 …………14分
21. (本小题满分13分)如图,已知点为椭圆右焦点,圆
与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.
(Ⅰ)求的值及椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足,
其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM
与ON的斜率之积为,求证:为定值.
参考答案:
(Ⅰ)由题意可知,又. 又 .……..2分
在中,,
故椭圆的标准方程为: ………..6分
(Ⅱ)设
∵M、N在椭圆上,∴
又直线OM与ON的斜率之积为,∴,
于是
. 故为定值.
………..13分
22. 已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,G、H是抛物线上的两点,|GF|+|HF|=3,线段GF的中点到y轴的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)如果过点P(m,0)可以作一条直线l,交抛物线于A、B两点,交圆(x﹣6)2+y2=4于C、D(自上而下依次为B、D、C、A),且+=+,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由抛物线定义知: +=,得p=,即可求出抛物线的方程;
(2)由+=+得﹣=﹣,即=,可得x1+x2=x4+x3,分类讨论,即可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由抛物线定义知: +=,得p=…
故抛物线的方程为y2=x…
(2)由+=+
得﹣=﹣,即=…
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则=(x1﹣x3,y1﹣y3),=(x4﹣x2,y4﹣y2),
所以x1﹣x3=x4﹣x2,即x1+x2=x4+x3…
①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=m,此时只需点P(m,0)在圆内即可,
故(m﹣6)2<4,解得4<m<8…
②当直线l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x﹣m)(且m≠0)
代入抛物线方程得:k2x2﹣(2mk2+1)x+m2k2=0…
因为直线l与抛物线于A、B两点,所以△1=4mk2+1>0…①…
x1+x2=
代入圆方程得:(1+k2)x2﹣2(mk2+6)x+m2k2+32=0
因为直线l与圆于C,D两点,所以△2>0,即k2(m﹣6)2<4(1+k2)…②…
x3+x4=
因为x1+x2=x4+x3,所以=,化简得k2=…
代入①②得,解得﹣2<m<…
综合得实数m取值范围为(﹣2,)…
【点评】本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,难度大.
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