2021年河北省廊坊市新世纪中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年河北省廊坊市新世纪中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知半圆的直径 ，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是 Ａ．?            Ｂ.          Ｃ．       Ｄ.  参考答案： D 2. 已知全集U=R，集合A=，，则（    ） （A）（－1,1）       （B）（－1,3）        （C）          （D） 参考答案： C 略 3. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据y=Asin（ωx+?）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论． 【解答】解：∵， ∴由，∴， 令． 故选：C． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，正弦函数的对称中心，属于中档题． 4. 设集合，集合，则（    ） A．[1,2)         B．(1,2]        C．[2,+∞)         D．[1,+∞) 参考答案： C 5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是(      )    A.           B.    C.             D. 参考答案： B 略 6. 已知等比数列的公比,且，,成等差数列,则的前8项和(  ) A．127     B．255      C．511 D．1023 参考答案： B 7. 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（    ） A．             B．              C．            D． 参考答案： A 8. 对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是（    ） A.a1,a3,a9成等比数列       B. a2,a3,a6成等比数列 C. a2,a4,a8成等比数列      D. a3,a6,a9成等比数列 参考答案： D 9. 设全集,集合则为    A．           B．         C．         D． 参考答案： A 10. 函数的零点个数为（  ） （A）0  （B）1    （C）2                       （D）3 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝　　　　. 参考答案： 12. 直线与直线的夹角大小为     (结果用反三角函数值表示). 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的夹角. 【试题分析】设两直线的夹角为，直线与x轴、y轴的交点坐标为，因为直线与x轴平行，则直线与x轴的夹角为，所以直线与的夹角，于是，故答案为. 13. 若函数的图像关于原点对称，则         ． 参考答案： 14. 已知数列的前项和，且满足，则正整数___. 参考答案： 8 15. （5分）（2015?哈尔滨校级二模）已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项的和，且a1=e4，Sn=eSn+1﹣e5，an=ebn（n∈N*）．则当Tn取得最大值时，n的值为　　． 参考答案： 4或5 【考点】： 数列的函数特性． 【专题】： 等差数列与等比数列． 【分析】： 根据数列性质得出=，n≥2，=．数列{an}是等比数列．得出bn=lne5﹣n=5﹣n．运用等差数列公式判断即可． 解：Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和， Sn=eSn+1﹣e5，Sn﹣1=eSn﹣e5，n≥2， 相减得出：an=ean+1， =，n≥2， ∵a1=e4，Sn=eSn+1﹣e5， ∴a2=e3， =． ∴数列{an}是等比数列． an=e5﹣n， ∵an=ebn（n∈N*）． ∴bn=lne5﹣n=5﹣n． ∵bn+1﹣bn=﹣1． ∴数列{bn}是等差数列． ∴Tn==，对称轴n= 根据函数的性质得出：n=5，n=4时最大值． 故答案为：4或5． 【点评】： 本题考查了数列的性质，判断数列的等比性，求和公式的运用，结合函数的性质判断单调性，最值．属于中档题． 16. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48ai=5M，则i=　 　． 参考答案： 6 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值． 【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列， 记为{an}，设公差为d， 则，解得a1=，d=， 所以该金杖的总重量M==15， 因为48ai=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25， 即39+6i=75，解得i=6， 故答案为：6． 【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力． 17. 如图，AB是圆0的直径，CD⊥AB于D点，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若CD=，则EF=      . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动，他们设置了200个取水敞口箱.其中100个采用A种取水法，100个采用B种取水法.如图甲为A种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图，图乙为B种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图. （1）设两种取水方法互不影响，设M表示事件“A法取水箱水量不低于1.0kg，B法取水箱水量不低于1.1kg”，以样本估计总体，以频率分布直方图中的频率为概率，估计M的概率； （2）填写下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关.   箱积水量＜1.1kg 箱积水量≥1.1kg 箱数总计 A法       B法       箱数总计       附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考答案： 解：（1）设“法取水箱水量不低于”为事件，“法取水箱水量不低于”为事件， ，， ， 故发生的概率为. （2）列联表：   箱积水量 箱积水量 箱数总计 法 法 箱数总计 ， ∴， ∴有的把握认为箱积水量与取水方法有关.   19. （本小题满分12分） 为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（成绩均为整数）分成六段，，…，后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分； 参考答案： 解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率： ．…………………3分 直方图如图所示． …………6分 （2）依题意，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为 ，……………………9分 抽样学生成绩的合格率是75%．利用组中值估算抽样学生的平均分 则估计这次考试的平均分是71分……………………………12分 略 20. 如图（1）五边形ABCDE中，,将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD. （1）求证：BM∥平面PAD. （2）若直线PC，AB与所成角的正切值为，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值. 参考答案： （1）证明：取的中点，连接，则， 又，所以，………………………………2分 则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分 又因为面 所以平面……………………………………………………………………5分 （2）又平面， ∴平面，∴. 由即及为的中点，可得为等边三角形， ∴，又，∴，∴， ∴平面平面， ∴平面平面.………………………………………………………………6分 ，∴为直线与所成的角， 由（1）可得，∴，∴， 设，则， 取的中点，连接，过作的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴，…………………………………………………………………9分 所以， 设为平面的法向量，则，即， 取，则为平面的一个法向量， ∵， 则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分 21. （13分）已知等比数列{an}的公比q＞0，其n前项和为Sn，若a1=1，4a3=a2a4． （Ⅰ）求公比q和a5的值； （Ⅱ）求证：＜2． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列． 【分析】（I）数列{an}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．可得4q2=q4，解出即可得出． （II）an=2n﹣1，Sn==2n﹣1，作差﹣2化简即可得出． 【解答】（I）解：∵数列{an}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4． ∴4q2=q4， 解得q=2． ∴a5=q4=16． （II）证明：an=2n﹣1，Sn==2n﹣1， ∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0， ∴＜2． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22. 已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn． （1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式． （2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”． ①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn． ②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等