2021-2022学年湖南省衡阳市花桥中学高二数学文联考试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市花桥中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线y＝-2x+b与圆x2+y2-4x+2y-15＝0相切, 则b值是(    ) A.  -7    B.  13    C.   -13或7       D.   -7或 13 参考答案： D 2. 若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0，则（　　） A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1 参考答案： A 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1． 【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a， 可得在点（0，b）处的切线斜率为a， 由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1=0， 可得a=1，b=1， 故选：A． 3. 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出． 【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0） ∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0， ∴x0=x0+， 解得x0=1． 故选：A． 4. 设定义域为的函数，，关于的方程 有7个不同的实数解，则的值为（    ） A.            B.           C.             D. 参考答案： A 5. 已知函数的图像如图 （第11题图）   所示，且．则的值是  ▲  ． 参考答案： 3 略 6. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐进线的距离等于（    ） A．          B．           C．3            D．5 参考答案： A 7. 由抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积是（　　） 　 A． 18 B． C． D． 16 参考答案： A   考点： 定积分．3804980 专题： 导数的综合应用． 分析： 利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出． 解答： 解：联立，解得或， ∴由抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积S= ∵， ∴S=+=18． 故选A． 点评： 熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键． 8. 设(    )    A．4        B． 5         C． 6             D． 10 参考答案： B 略 9. 已知数列{an}：， +， ++， +++，…，那么数列{bn}={}的前n项和为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法． 【分析】先求得数列{an}的通项公式为an==，继而数列的通项公式为==4（），经裂项后，前n项的和即可计算． 【解答】解：数列{an}的通项公式为an=== 数列的通项公式为==4（） 其前n项的和为4[（）+（）+（）+…+（）]= 故选A 10. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为，则样本方差为 A．                B．            C．             D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=的值域为　　． 参考答案： （﹣∞，1] 【考点】函数的值域． 【分析】按分段函数分段求f（x）的取值范围，从而解得． 【解答】解：∵x≤0， ∴0＜f（x）=2x≤1， ∵x＞0， ∴f（x）=﹣x2+1＜1， 综上所述，f（x）≤1， 故答案为：（﹣∞，1]． 12. 如果直线 与圆：交于两点，且，为坐标原点，则_________. 参考答案： 略 13. 由定积分的几何意义可知dx=___________． 参考答案： 略 14. 直线x﹣+1=0被圆x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦长为　　． 参考答案： 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线x﹣+1=0的距离d的值，再根据弦长公式求得弦长． 解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣3=0，即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）为圆心，半径等于2的圆． 由于圆心到直线x﹣+1=0的距离为d==1， 故弦长为2=2． 故答案为：2． 点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 　 15. 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______        ．:] 参考答案： 45 略 16. 已知点A（4，0），抛物线C：x2=8y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别交于点M和N，则|FM|：|MN|=　　． 参考答案： 1： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】如图所示，由抛物线定义知|MF|=|MH|，得到|FM|：|MN|=|MH|：|MN|，根据△MHN∽△FOA，即可求出答案． 【解答】解：如图所示，由抛物线定义知|MF|=|MH|， 所以|FM|：|MN|=|MH|：|MN|． 由于△MHN∽△FOA， 则===， 则|MH|：|MN|=1：， 即|FM|：|MN|=1：． 故答案为：1： 17. 设f(x)是定义在R上的函数。且满足，如果                参考答案： log1.5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本大题12分）分别指出下列各题构成的“”，“”，“”形式复合命题的真假。 （1）p：3是13的约数             q：3是方程的解。 （2）p：相似三角形的对应边相等    q：相似三角形的对应角相等。 参考答案： （1）：3是13的约数或3是方程的解  ：3是13的约数且3是方程的解 ：3不是13的约数。 因为p是假命题，q是真命题。故分别为真命题、假命题、真命题。 （2）：相似三角形对应边相等或对应角相等。 ：相似三角形对应边相等且对应角相等 ：相似三角形对应边不一定相等。 因为p为假命题，q为真命题，故分别为真命题、假命题、真命题。 略 19. 设函数    （1）当函数有两个零点时，求a的值；    （2）若时，求函数的最大值。 参考答案： （Ⅰ）解：， 由得，或，由得， 所以函数的增区间为，减区间为， 即当时，函数取极大值， 当时，函数取极小值，         又， 所以函数有两个零点，当且仅当或， 注意到，所以，即为所求．    （Ⅱ）解：由题知， 当即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 所以；            当即时， 函数在上单调增，在上单调减，在上单调增， 注意到， 所以； 综上，      略 20. 已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）． （1）若过点P（0，4）的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程； （2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程； （3）设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值． 参考答案： 【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程； （2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程； （3）设出点N的坐标，由⊥得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又⊥，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值． 【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4． 斜率不存在时，x=0满足题意； 斜率存在时，设切线方程为y=kx+4，即kx﹣y+4=0， 根据圆心到切线的距离等于半径可得4=，解得k=﹣， 故切线方程为y=﹣x+4， 综上所述，直线l的方程为y=﹣x+4或x=0． （2）以OM为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）=+1， 其圆心为（1，），半径r= 因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==，解得t=4 所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5； （3）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0）， ∵⊥，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2， 又∵⊥，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0， ∴x02+y02=2x0+ty0=2， 所以||==为定值． 21. 为调查喜欢冲浪运动与性别是否相关，随机对100名大学生进行调查并制成下表：   喜欢冲浪运动人数 不喜欢冲浪运动人数 总计 女生人数 男生人数 总计   （1）当，，时，判断能否有99.9%的把握认为喜欢冲浪运动与性别有关？ （2）当，时，已知a的值越大则K2的值越小，若有99.9%的把握认为喜欢冲浪运动与性别有关，求a的最大值． 参考公式及数据：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828   ，． 参考答案： （1）有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关；（2）21. 【分析】 （1）根据公式求出，即可判定； （2）的值越大则的值越小，由（1）知：当时有把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关，依次检验，是否满足即可得解. 【详解】解：（1）由题知， 所以， 所以有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关； （2）由（1）知：当时有把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关   若，则，有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关   若，则，没有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关 由题知：的值越大则的值越小，所以当时均没有的把握说明是否喜欢冲浪运动与性别相关所以的最大值等于21 【点睛】此题考查独立性检验问题，关键在于根据公式准确计算的值，准确辨析，此类问题容易在最后下结论出现错误. 22. 已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求+的最大值． 参考答案： 【考点】71：不等关系与不等式． 【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值． 【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a