2021年安徽省阜阳市颍泉区苏屯乡中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年安徽省阜阳市颍泉区苏屯乡中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为(    ) A． B． C． D． 参考答案： C 2. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（   ）           A.3个       B.4个       C.99个       D.100个 参考答案： D 考点：归纳推理 3. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（　　） A． B． C．4π D． 参考答案： D 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解． 【解答】解：因为AB=BC=CA=2， 所以△ABC的外接圆半径为r=． 设球半径为R，则R2﹣（R）2=， 所以R2= S=4πR2=． 故选D 【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键． 4. 已知数列{an}满足an+1=an+1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则log3（a5+a7+a9）的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2 参考答案： B 【考点】等差数列的性质；对数的运算性质． 【分析】数列{an}是以1为公差的等差数列，可得a5+a7+a9=a2+a4+a6 +9d=27，由此求得log3（a5+a7+a9）的值． 【解答】解：∵数列{an}满足an+1=an+1（n∈N+）， ∴数列{an}是以1为公差的等差数列． 又∵a2+a4+a6=18， ∴a5+a7+a9=a2+a4+a6 +9d=27， ∴log3（a5+a7+a9）=log327=3， 故选B． 5. 在复平面内，复数对应的点位于（　 　） A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D ，所以对应点在第四象限，答案选D. 6. 在矩形ABCD中，.若点M,N分别是CD，BC的中点，则 A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： C 7. 是虚数单位，复数（   ） A.         B.         C.         D. 参考答案： A . 8. 已知a是函数的零点，若的值满足  （    ）     A． B．  C． D．的符号不能确定 参考答案： C 9. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　） 　 A．（﹣2，+∞） B． （0，+∞） C． （1，+∞） D． （4，+∞） 参考答案： B 略 10. 已知，函数的图象如右图所示，则函数的图象可能为 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2017x+log2017x，则f（x）在R上的零点的个数为　  　． 参考答案： 3 【考点】52：函数零点的判定定理． 【分析】x＞0时，求f′（x），并容易判断出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数．然后判断有没有x1，x2使得f（x1）f（x2）＜0：分别取x=2017﹣2017，1，便可判断f＜0，f（1）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数的对称性便得到f（x）在（﹣∞，0）上有一个零点，而因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，这样便得到在R上f（x）零点个数为3． 【解答】解：x＞0时，f′（x）=2017xln2017+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， 取x=2017﹣2017，则f=﹣2017＜0，又f（1）=2017＞0； ∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（﹣∞，0）也有一个零点； 又f（0）=0； ∴函数f（x）在R上有3个零点． 故答案为：3． 12. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为_______________。 参考答案： 略 13. 已知函数，若方程至少有一个实数解，则实数的取值范围是__________________________. 参考答案： 14. 已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为　　． 参考答案： 12+π 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求． 【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1， 则可设z1=cosθ+isinθ，z2=a+bi（﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1）， 由z=z1+z2，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i， 设z=x+yi，则， ∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=1． 当a，b变化时，z点的轨迹如图： 则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为： 图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积． 等于． 故答案为：12+π． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题． 15. 已知四棱柱中，侧棱底面ABCD，且，底面ABCD的边长均大于2，且，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为______． 参考答案： 由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定 理得，所以、在△PMN中，由余弦定理可得 ，当且仅当PM= PN时取等号，所以，所以底面△PMN的面积 ，当且仅当PM= PN时取最大值，故三棱锥的体积． 16. 下列说法： ① “，使>3”的否定是“，使3”； ②  函数的最小正周期是； ③ “在中，若，则”的逆命题是真命题； ④ “”是“直线和直线垂直”的充要 条件；其中正确的说法是 （只填序号）. 参考答案： ①② 略 17. 已知的展开式中的系数是－35， 则=         参考答案： 1    略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对于数集，其中，，定义向量集 . 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P. （I）若，且具有性质，求的值； （II）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式. 参考答案： （1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.        ……2分          所以x=2b，从而x=4.                                       ……4分 （2）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n.                                                  ``          记，k=2, 3, …, n.          先证明：若具有性质P，则也具有性质P.          任取，、?.当、中出现-1时，显然有满足；          当且时，、≥1.          因为具有性质P，所以有，、?，使得， 从而和中有一个是-1，不妨设=-1. 假设?且?，则.由，得，与?矛盾.所以?.从而也具有性质P.           ……6分 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；          假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；          当n=k+1时，若有性质P，则          也有性质P，所以.          取，并设满足，即.由此可得s=-1或t=-1.          若，则不可能；          所以，，又，所以.          综上所述，，i=1, 2, …, n.                  ……10分          [解法二]设，，则等价于.          记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 原点对称. 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数， 所以也只有n-1个数. 由于，已有n-1个数，对以下三角数阵                                                                  ……                               注意到，所以，从而数列的通项公式为          ，k=1, 2, …, n. 19. （本小题满分13分） 椭圆E的离心率为分别是左、右焦点，过F1的直线与圆相切，且与椭圆E交于A，B两点，且          （1）求椭圆E的方程；          （2）设M为椭圆E上一动点，点N（0，2），求的最大值。 参考答案： 20. 已知函数． （Ⅰ）求的值． （Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递减区间． 参考答案： 见解析 解：（Ⅰ）函数 ， ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：， ∴的最小正周期， 令， 则，， ∴函数的单调递减区间为，． 21. 已知函数f（x）=sinx﹣2sin2 （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，]上的最小值． 参考答案： 【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解； （2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解． 【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2 =sinx﹣2× =sinx+cosx﹣ =2sin（x+）﹣ ∴f（x）的最小正周期T==2π； （2）∵x∈[0，]， ∴x+∈[，π]， ∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]， ∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查． 22. 在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4． （1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；J9：直线与圆的位置关系． 【分析】（1）圆C的极坐标方程为ρ=4，展开可得：ρ2=4×ρ（cosθ﹣sinθ），利用互化公式即可得出直角坐标方程． （2）直线l的参数方程为：