2022-2023学年四川省宜宾市屏山县新市中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年四川省宜宾市屏山县新市中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为得到函数y=2cos2x﹣sin2x的图象，只需将函数y=2sin2x+1的图象（　　） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：∵y=2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2sin（﹣2x）+1 =﹣2sin（2x﹣）+1=2sin（2x+）+1， 将函数y=2sin2x+1的图象向左平移个长度单位，可得得到函数y=2sin（2x+）+1的图象， 故选：C． 　 2. 函数y=x﹣的值域为（　　） 　 A．（﹣∞，1） B． （﹣∞，1] C． （0，1] D． [0，1] 参考答案： 考点： 函数的值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 运用换元法t=，转化为二次函数求解，注意变量的范围． 解答： 解：设t=，则y=﹣t2﹣t+1，t≥0， ∵对称轴为t=，可知；在[0，+∞）上为单调递减函数， ∴当t=0时，y的最大值为1， 即函数y=x﹣的值域为（﹣∞，1]， 故选：B 点评： 本题考查了运用换元法，转化为二次函数的问题来解决，此类型题，要特别注意心自变量的取值范围． 3. 已知函数的定义域为，函数的定义域为，则(   ) A.   B .   C.    D. 参考答案： A 4. 函数的图象的大致形状是（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果. 【详解】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项； 又，所以由，可得，由得, 即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除C. 5. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（　　） A．2016 B．2015 C．4030 D．1008 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；导数的综合应用． 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论． 【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3， g″（x）=2x﹣1， 由g″（x0）=0得2x0﹣1=0 解得x0=，而g（）=1， 故函数g（x）关于点（，1）对称， ∴g（x）+g（1﹣x）=2， 故设g（）+g（）+…+g（）=m， 则g（）+g（）+…+g（）=m， 两式相加得2×2015=2m， 则m=2015． 故选：B． 【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法． 6. 函数，已知在时取得极值，则= (   )   A.2                         B.3                           C.4                            D.5 参考答案： D 略 7. 已知，满足且的最大值为7，最小值为1，则        ． 参考答案： 略 8. 已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（    ） A. ，    B. ， C. ，    D. ， 参考答案： B 由题设知的周期，所以，又的图象关于点对称，从而，即,因为，所以.故. 再由，得，故选B. 点睛：已知函数的性质求解析式： (1). (2)由函数的周期求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求. 9. 若向量，，，则、的夹角是（    ） A.      B.      C.      D. 参考答案： D 试题分析：因为，所以，即，，又，，所以，或.故正确答案为D. 考点：向量夹角及运算. 10. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） A．3   B．﹣6   C．10   D．﹣15 参考答案： C 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值． 解答： 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：         是否继续循环     i   S    循环前                 1    0      第一圈       是       2﹣1     第二圈       是       3      3 第三圈       是       4﹣6 第四圈       是       5     10 第五圈       否 故最后输出的S值为10 故选C． 点评： 根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设等差数列{an}的前n项和为，若，，则公差d=    ．  参考答案： 1 12. 若，则   ． 参考答案： 13. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为．，则此球的表面积等于_________． 参考答案： 14. 已知函数 ①若，则实数          ； ②在①的条件下，若直线与的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是          ． 参考答案： ① -1；② 【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】因为 ① ② 由图可知 故答案为：① -1；② 15. （文）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是         ． 参考答案： 或 16. 给出下列四个命题:①若直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则的最小值为2;②双曲线的离心率为;③若⊙⊙,则这两圆恰有2条公切线;④若直线与直线互相垂直,则其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上) 参考答案： 2 ;3 略 17. 抛物线的准线方程为___________. 参考答案：     三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）在中，的对边分别为且 成等差数列。（1）求的值； (2)求的取值范围。 参考答案： 19. 在中，内角成等差数列，其对边满足， (I)求角A＋C与sinAsinB的值； ( II)求角A 函数的最小值及取最小值时相应的x值：     (Il)设的内角的对边分别为，且 若向量与向量共线，求的值． 参考答案： 略 20. 在中，，过点的直线与其外接圆 交于点，交延长线于点    （1）求证： ；    （2）求证：． 参考答案： 略 21. 定义为有限项数列的波动强度. （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若数列满足，求证：； （Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列. 参考答案： （Ⅰ）解：       ………………1分 .           ………3分 （Ⅱ）证明：因为， ， 所以.…4分 因为，所以，或. 若，则 当时，上式， 当时，上式， 当时，上式， 即当时，.  …………6分 若， 则， .（同前） 所以，当时，成立.     …………7分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理） 下面来证明当时，为递减数列. （ⅰ）证明. 若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若，则，与已知矛盾. 所以，.                                   ……………9分 （ⅱ）设，证明. 若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若，则，与已知矛盾. 所以，.                                    …………11分 （ⅲ）设，证明. 若，考查数列， 则由前面推理可得，与矛盾. 所以，.                                     ……12分 综上，得证. 同理可证：当时，有为递增数列.          ……13分 略 22. （13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）． （1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c； （2）求椭圆的离心率e的取值范围； （3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值． 参考答案： 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： （1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离 （2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围． （3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案． 解答： 解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0）， Q点到右准线的距离为d=﹣x0， 则由椭圆的第二定义知：=， ∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a， ∴当x0=a时， ∴|QF2|min=a﹣c． （2）依题意设切线长|PT|= ∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值， ∴≥（a﹣c）， ∴0＜≤，从而解得≤e＜， 故离心率e的取值范围是解得≤e＜， （3）依题意Q点的坐标为（1，0）， 则直线的方程为y=k（x﹣1）， 与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得， 设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=， 代入直线方程得y1y2=， x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB， ∴=0， ∴k=a， 直线的方程为ax﹣y﹣a=0， 圆心F2（c，0）到直线l的距离d=， ∴≤e＜?，∴≤c＜1，≤2c+