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浙江省丽水市城关镇中学2022-2023学年高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={4,5},则?UA=( )
A.{5} B.{4,5} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4,5}
参考答案:
C
【考点】补集及其运算.
【分析】直接利用补集的概念进行运算.
【解答】解:全集U={1,2,3,4,5},集合A={4,5},则?UA={1,2,3},
故选:C
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是
A.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有—个红球”
C.“至少有—个黑球”与“都是红球”
D.“至多有一个黑球”与“都是黑球”
参考答案:
A
略
3. 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】简单空间图形的三视图.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体,它的侧视图首先应该是一个正方形,中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,分析对角线的方向,并逐一对照四个答案中的视图形状,即可得到答案.
【解答】解:由已知中几何体的直观图,
我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故D不正确;
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故C不正确;
而对角线的方向应该从左上到右下,故B不正确
故A选项正确.
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键.
4. 已知函数f(x)=,g(x)=lnx,则函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】计算题;数形结合;综合法;函数的性质及应用.
【分析】在同一坐标系中画出函数函数f(x)与函数y=lnx的图象,两函数图象交点的个数即为函数y=f(x)﹣g(x)的零点的个数.
【解答】解:令g(x)=f(x)﹣lnx=0得f(x)=lnx
∴函数g(x)=f(x)﹣lnx的零点个数即为函数f(x)与函数y=lnx的图象的交点个数,
在同一坐标系中画出函数f(x)与函数y=lnx的图象,如图所示,
由图象知函数y=f(x)﹣lnx上有3个零点.
故选:C.
【点评】此题是中档题.考查函数零点与函数图象交点之间的关系,体现了转化的思想和数形结合的思想,体现学生灵活应用图象解决问题的能力.
5. 下列函数中最小正周期为π的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
对A选项,对赋值,即可判断其最小正周期不是;利用三角函数的周期公式即可判断B、D的最小正周期不是,问题得解.
【详解】对A选项,令,则
,不满足,
所以不是以为周期的函数,其最小正周期不为;
对B选项,的最小正周期为:;
对D选项,的最小正周期为:;排除A、B、D
故选:C
【点睛】本题主要考查了三角函数的周期公式及周期函数的定义,还考查了赋值法,属于基础题。
6. 如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1D1
参考答案:
B
7. 设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数,其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察,函数的图象可以近似地看成函数的图象.
根据上述数据,函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
8. 函数f(x)=+lg(x﹣3)的定义域为( )
A.(3,+∞) B.(﹣∞,4] C.(3,4] D.(3,4)
参考答案:
C
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式组,解出即可.
【解答】解:由题意得:
,
解得:3<x≤4,
故选:C.
9. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0},B={x|﹣2<x<3},则A∩B=( )
A.{﹣1,3} B.{﹣1} C.{3} D.?
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合思想;集合.
【分析】求出A中方程的解确定出A,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由A中方程变形得:(x﹣3)(x+1)=0,
解得:x=﹣1或x=3,即A={﹣1,3},
∵B=(﹣2,3),
∴A∩B={﹣1},
故选:B.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
10. 已知四个关系式:∈R,0.2?Q,|﹣3|∈N,0∈?,其中正确的个数( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
参考答案:
B
【考点】元素与集合关系的判断.
【分析】根据元素与集合的关系进行判断
【解答】解:R是实数集,∴正确;
Q是有理数集,是无理数,∴正确;
N是自然数集,|﹣3|=3∈N,∴|﹣3|∈N正确;
?是空集,没有任何元素,∴0??,故不对.
正确的个数3个.
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆()与圆相内切 ,则a的值为
参考答案:
6
略
12. 过点P,并且在两轴上的截距相等的直线方程为
参考答案:
或
略
13. 已知某几何体的直观图及三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
12+4
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】借助常见的正方体模型解决.由三视图知,该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得,其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成.计算得其表面积为12+4
【解答】解:由三视图知,AB=BC=CD=DA=2,CE⊥平面ABCD,CE=2,
AE⊥平面ABCD,AE=2,
EF=2,BE=BF=DE=DF=2,
则△DEF,△BEF为正三角形,
则S△ABF=S△ADF=S△CDE=S△CBE=×2×2=2,
S△BEF=×2×2×=2,
S△DEF═×2×2×=2,S正方形ABCD=2×2=4,
则该几何体的表面积S=4×2+2+2+4=12+4,
故答案为:12+4
14. 函数在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为 .
参考答案:
4
15. 已知点A(2,3),C(0,1),且,则点B的坐标为 .
参考答案:
(﹣2,﹣1)
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】设出B的坐标,由点的坐标求出所用向量的坐标,代入后即可求得B的坐标.
【解答】解:设B(x,y),由A(2,3),C(0,1),
所以,
又,所以(x﹣2,y﹣3)=﹣2(﹣x,1﹣y)
即,解得.
所以B(﹣2,﹣1).
故答案为(﹣2,﹣1).
16. f(x)的图像如下图,则f(x)的值域为
参考答案:
略
17. 与-1050°终边相同的最小正角是 .
参考答案:
30°
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,.
(1)若,,求△ABC的面积;
(2)若,求△ABC的面积的最大值.
参考答案:
(1)(2)
分析:(1)利用余弦定理求出,进而得到,再利用求值即可;(2)由可得,转求二次函数的最值即可.
详解:(1)∵,,,
∴,
∴
∴.
(2)∵.
又,∴.
∴
.
∴(当且仅当时取等号).
所以面积的最大值为
点睛:点睛:解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化变;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.
19. (12分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出函数f(x)在区间[0,π]上的图象;
(3)求函数f(x)的最大值,并写出使函数f(x)取得最大值的x的集合.
参考答案:
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)由条件根据正弦函数周期性求得ω的值.
(2)由条件利用五点法作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象.
(3)根据正弦函数的值域并结合f(x)的图象求得f(x)在区间[0,π]上的最大值以及f(x)取得最大值的x的集合.
解答: (1)∵函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,x∈R)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.
(2)由x∈[0,π],可得2x+∈间[,],列表如下:
2x+
π
2π
x
0
π
y
1
0
﹣1
0
作图:
(3)当2x+=2kπ+,k∈z时,即x=kπ+,k∈z时,函数f(x)取得最大值为1.
点评: 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,用五点法作函数在一个周期上的简图,正弦函数周期性和的值域,属于中档题.
20. 已知函数
(Ⅰ)判断函数的单调性并用函数单调性定义加以证明;
(Ⅱ)若在上的值域是,求的值.
(Ⅲ)当,若在上的值域是 ,求实数的取值范围
参考答案:
解:(1)证明:设,则,
,
在上是单调递增的. 4分
(2)在上单调递增,
,易得. 7分Ks5u
(3) 依题意得……8分
又方程有两个不等正实数根
又,对称轴
∴实数a的取值范围为……12分
21. 已知函数f(x)=2x﹣2﹣x.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明:函数f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.
参考答案:
【考点】指数函数综合题.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)首先明确函数的定义域为R,然后利用奇偶函数的定义判断.
(2)根据增函数的定义进行证明.
【解答】解:(1)函数f(x)的定义域是R,
因为f(﹣x)=2﹣x﹣2x=﹣(2x﹣2﹣x)=﹣f(x),
所以函数f(x)=2x﹣2﹣x是奇函数;
(2)设x1<x2,
则f(x1)=2﹣2,f(x2)=2﹣2,
∴f(x1)﹣f(x2)=2﹣2﹣(2﹣2)
=,
∵x1<x2,
∴,1+>0,
∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性,直接利用定义解决即可.
22. (12分)(1)已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)﹣f(x)=2x,求f(x).
(2)若f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x,求f(x).
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