《人教版九年级数学上册课件---24.1.2 垂直于弦的直径》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版九年级数学上册课件---24.1.2 垂直于弦的直径（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径24.1.2 垂直于弦的直径1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形；2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它 解决一些简单的计算、证明和作图问题；（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标24.1.2 垂直于弦的直径问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课导入新课24.1.2 垂直于弦的直径问题问题1 在纸上任意画一个在纸上任意画一个O，沿，沿O的一条的一条直径将直径将O折折叠，叠，你发现了什么？你发
2、现了什么？O圆是轴对称图形，对称轴是圆圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的所在平面内任意一条过圆心的直线直线.讲授新课讲授新课24.1.2 垂直于弦的直径讲授新课讲授新课垂径定理及其推论(1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？(2)你是怎么得出结论的？圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.用折叠的方法 O说一说24.1.2 垂直于弦的直径问题问题2 已知：如图，在已知：如图，在O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，且且CDAB，垂足为，垂足为E.求证：求证：AE=EB，（或（或 ）.OABDEC证明：连接证明：连接O
3、A，OB，OA=OB.OAB为等腰三角形，所以底边为等腰三角形，所以底边AB上的高上的高OE所在直线所在直线CD是是AB的垂直平分线，因此的垂直平分线，因此点点A与点与点B关于直线关于直线CD对称对称.24.1.2 垂直于弦的直径同理，如果点同理，如果点P是是O上任意一点，过点上任意一点，过点P作直线作直线CD的垂线，的垂线，与与O相交于点相交于点Q，则点，则点P与点与点Q关于直线关于直线CD也对称，也对称，所以所以O关于直线关于直线CD对称对称.当把圆沿当把圆沿着直径着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，圆重合，AE与与BE重合，点重合，点A与点与点B重重合，合，与与
4、 重合，重合，与与 重合重合.因此因此 AE=EB，.POABDECQ24.1.2 垂直于弦的直径温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.u垂径定理OABCDP垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.CD 是O 的直径，CDAB，(条件)u推导格式：AP=BP，(结论)归纳总结24.1.2 垂直于弦的直径想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为 AB，CD 都不是直径OABCABOEABDCOEABOCDE24.1.2 垂直于弦的直径可运用垂径定理的几种常见图形：ABOCDEABOCDAB
5、ODCABOC归纳总结24.1.2 垂直于弦的直径例1 如图，OEAB 于 E，若O 的半径为 10 cm，OE=6 cm，则 AB=cm.OABE解析：连接 OA.OEAB，AB=2AE=16(cm).16(cm).24.1.2 垂直于弦的直径例2 如图，O 的弦 AB8 cm，直径 CEAB 于 D，DC2 cm，求半径 OC 的长.OABECD解：连接 OA.CEAB 于 D，设 OC=OA=x cm，则 OD=x-2，根据勾股定理，得解得 x=5.即半径 OC 的长为 5 cm.x2=42+(x-2)2，24.1.2 垂直于弦的直径 如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对
6、的两条弧)的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？过圆心(是直径)；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索24.1.2 垂直于弦的直径DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：CD 是直径 CDAB，垂足为 E AE=BE 24.1.2 垂直于弦的直径证明猜想如图，AB 是O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E.（1）CDAB 吗？为什么？（2）OABCDE解：(1)连接 AO、BO，则 AO=BO.又 AE=BE，AEO=BEO=90.CDAB.AOEBOE(SSS).(2)由垂径定理可得 与 相
7、等吗？与 相等吗？为什么？24.1.2 垂直于弦的直径证明举例思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论：OABCD归纳总结圆的两条直径是互相平分的.24.1.2 垂直于弦的直径证明：作直径 MNAB，如图.ABCD，MNCD.则 =，=（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.=.=.例3 已知：O 中弦 ABCD，求证：=.MCDABON24.1.2 垂直于弦的直径 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.24.1.2 垂直于弦的直径归纳总结问题：
8、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？24.1.2 垂直于弦的直径解得 R 27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.R2=(R-7.23)2+18.52，解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD=7.23 m.由垂径定理，得 AD=AB=18.5 m，设O 的半径为 R m.在 RtAOD 中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定
9、理，得24.1.2 垂直于弦的直径1.已知O 中，弦 AB=8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.52.已知O 的直径 AB=20 cm，BAC=30，则弦 AC=cm.3.已知O 的半径为 10 cm，弦 MN EF，且 MN=12 cm，EF=16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 .14 cm 或 2 cm 当堂练习当堂练习24.1.2 垂直于弦的直径D OABCE4.如图，在O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于 D，OEAC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形证明：ODAB，OEAC，ABAC，四边形 ADOE 为矩形，又
10、 AC=AB，AE=AD.四边形 ADOE 为正方形.OEA=EAD=ODA=90.24.1.2 垂直于弦的直径 5.如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？解：AC=BD.理由如下：过点 O 作 OEAB，垂足为 E.则 AE=BE，CE=DE.AECE=BEDE，即 AC=BD.ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理内 容推 论辅 助 线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结课堂小结24.1.2 垂直于弦的直径
