2022年河南省洛阳市豆村中学高二数学文联考试题含解析

2022年河南省洛阳市豆村中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（    ） A．          B．      C．         D． 参考答案： A 2. 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（    ）   （A）48                （B）56               （C）64            （D）72 参考答案： A 3. 若命题“”为真，“”为真，则（    ）                                         A．p真q真　B．p假q假   C．p真q假  D．p假q真 参考答案： D 略 4. 已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则       （   ） A．在处取得极小值   B．在处取得极大值       C．是上的增函数            D．是上的减函数，上的增函数 参考答案： C 略 5. 若双曲线的焦距为8，则C的离心率为（   ） A. B. C. 2 D. 参考答案： A 【分析】 先由双曲线的焦距为8，求出，进而可求出结果. 【详解】因为双曲线的焦距为8， 所以，解得； 因此的离心率为. 故选A 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 6. 已知F为椭圆的一个焦点且MF=2，N为MF中点，O为坐标原点，ON长为（     ） A．2         　B．4　　　　　　C．6 　　　　　　D．8              参考答案： B 略 7. 直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】直线的倾斜角． 【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可． 【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==． ∴|MN|=2==， 解得， ∴， 设直线的倾斜角为θ， 则≤tanθ≤． ∴θ∈∪． 故选：C． 8. 抛物线的焦点坐标为（   ） A．(2，0)  B．(1高☆考♂资♀源€网，0)   C．(0，－4)    D．(－2，0) 参考答案： B 9. 某圆台如图所示放置，则该圆台的俯视图是（   ） 参考答案： D 10. 直线与直线的夹角是 A．             B．             C．           D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质；基本不等式． 【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a，b的关系代入表达式，通过基本不等式求出表达式的最小值． 【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是， 所以a=2c，所以4b2=3a2， =，当且仅当a=时取等号． 所以的最小值为． 故答案为：． 12. 一个单位共有职工400人，其中不超过45岁的有240人，超过45岁的有160人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的职工__        人． 参考答案： 20 13. 右图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为_______________ 参考答案： 14. .的展开式中常数项为              。 参考答案： -42   略 15. 设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是           ． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据题意算出双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=．连结PF，过P作右准线的垂线，垂足为M，由双曲线第二定义得|PM|=|PF|，从而得出|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，利用平面几何知识可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．由此利用双曲线的方程加以计算，可得满足条件的点P的坐标． 【解答】解：∵双曲线中，a=1，b=， ∴c=2， 可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=， 设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF， 由双曲线的第二定义，可得|PM|=|PF|． ∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|， 运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值． 此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行， 设P（m，2），代入双曲线方程得m=，得点P（，2）． ∴满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的点P坐标为． 故答案为：． 【点评】本题给出定点A与双曲线上的动点P，求4|PA|+2|PF|有最小值时点P的坐标．着重考查了双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题． 16. 若曲线在点处的切线平行于轴,则____________． 参考答案： 17. 已知数列的前n项的和满足,则=       ． 参考答案： ；解析：由得，∴， ∴，； ∴=； 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设方程有两个不等的实根，不等式在上恒成立，若为真，为真，求实数的取值范围. 参考答案： （1,2] 19. 某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物： ①在1000元以上者按九五折优惠； ②在2000元以上者按九折优惠； ③在5000元以上者按八折优惠。 (1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式； (2）写出表示优惠付款的算法； 参考答案： （1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为： (2）用条件语句表示表示为：   20. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1与B1D1的交点为O1，AC与BD的交点为O． （1）求证：直线OO1∥平面BCC1B1； （2）若AB=BC，求证：平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．   参考答案： （1）∵在长方体中，∥且     ∴四边形为平行四边形………………………2分     ∵四边形、四边形均为矩形，∴分别是的中点 ∴∥………………………4分     ∵平面，平面………………………5分 ∴直线∥平面………………………6分 （2）在长方体中，，是平面内的两条相交直线，∴平面………………………7分    ∵平面 ∴………………………8分    ∵ ∴四边形为正方形，∴……………………9分    ∵是平面内的两条相交直线……………………10分    ∴直线平面……………………11分    ∵平面，∴平面平面……………………12分 21. f 设计算法求：＋＋＋…＋的值，要求画出程序框图． 参考答案： 这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法；程序框图如下图所示． 22. 已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性． （II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0． g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； 当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． （II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx， 令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx， 则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0， ∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0， 令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1）， 由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增． ∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0． 再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0； 又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0． 故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立． 综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．