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2022年广东省汕头市澄海业余中学高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若a,b均为实数,且方程无实根,则函数是增函数的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 正方体中对角线与平面所成的角大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占用非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e﹣i表示的复数在复平面中位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】由欧拉公式eix=cosx+isinx,可得e﹣i=cos(﹣1)+isin(﹣1),结合三角函数的符号,即可得出结论.
【解答】解:由欧拉公式eix=cosx+isinx,可得e﹣i=cos(﹣1)+isin(﹣1),
∵cos(﹣1)>0,sin(﹣1)<0,
∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限.
故选D.
【点评】本题考查欧拉公式,考查三角函数知识,比较基础.
4. 设集合,,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为1的正方形,俯视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )
A.2 B.1 C. D.
参考答案:
C
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱;结合图中数据求出它的体积.
解答: 解:根据几何体的三视图,得
该几何体是如图所示的直三棱柱;
且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1,高为1;
所以,该三棱柱的体积为
V=Sh=×1×1×1=.
故选:C.
点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是基础题目.
6. 函数满足且时,,函数则函数在区间内的零点个数为( )
(A)5 (B)7 (C)8 (D) 10
参考答案:
7. 有一堆形状、大小相同的珠子,其中只有一粒重量比其它的轻,某同学经过思考,他说根据科学的算法,利用天平,三次肯定能找到这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有几粒( )
A.21 B.24 C.27 D.30
参考答案:
C
8. 在中,已知,则三角形的形状是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
9. 已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x),若方程f'(x)=0无解,且f[f(x)﹣2017x]=2017,当g(x)=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣,]上与f(x)在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,] C.[﹣1,] D.[,+∞)
参考答案:
A
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】由题意可知:f(x)为R上的单调函数,则f(x)﹣2017x为定值,由指数函数的性质可知f(x)为R上的增函数,则g(x)在[﹣,]单调递增,求导,则g'(x)≥0恒成立,则k≤sin(x+)min,根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围.
【解答】解:若方程f'(x)=0无解,
则 f′(x)>0或f′(x)<0恒成立,所以f(x)为R上的单调函数,
?x∈R都有f[f(x)﹣2017x]=2017,
则f(x)﹣2017x为定值,
设t=f(x)﹣2017x,则f(x)=t+2017x,易知f(x)为R上的增函数,
∵g(x)=sinx﹣cosx﹣kx,
∴,
又g(x)与f(x)的单调性相同,
∴g(x)在R上单调递增,则当x∈[﹣,],g'(x)≥0恒成立,
当时,,,
,
此时k≤﹣1,
故选A.
【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,正弦函数的性质,辅助角公式,考查计算能力,属于中档题.
10. 命题“对任意的,”的否定是
A.不存在,
B.存在,
C. 存在,
D. 对任意的,
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”,当输入时,输出的a=_____.
参考答案:
3
【分析】
解法一:按照程序框图运行程序,直到时,输出结果即可;解法二:根据程序框图的功能可直接求解与的最大公约数.
【详解】解法一:按照程序框图运行程序,输入:,
则,,,不满足,循环;
则,,,不满足,循环;
则,,,不满足,循环;
则,,,满足,输出
解法二:程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数
因为与的最大公约数为
本题正确结果:
【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题,属于基础题.
12. 函数的最小正周期为
参考答案:
13. 已知点为抛物线的焦点,为原点,点是抛物线准线上一动点,在抛物线上,且=4.则+的最小值是 .
参考答案:
14. 已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点,则实数的取值范围是 __________ .
参考答案:
略
15. 抛物线的焦点坐标为 .
参考答案:
略
16. 在数列中{an},它的前n项和Sn=1﹣nan(n∈N+),则数列{an}的通项公式为 .
参考答案:
略
17. 已知集合,那么 .
参考答案:
{1,-1}
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足:对任意的都有,又.
(I)求数列{ an }的通项公式;
(II)令,求
参考答案:
(Ⅰ)由① ,得(,)②.
①- ②,得,即(,).
………………3分
由,,得,
所以(),所以数列是首项和公比都为的等比数列,
因此,.
……………… 6分
(Ⅱ)由,得,
……………… 7分
所以,
………………9分
所以
.
……………… 12分
19. 不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解不等式:;
(Ⅱ)当时, 不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解析:(Ⅰ)原不等式等价于:当时,,即;
当时,,即 ; 当时,,即.
综上所述,原不等式的解集为.…………(5分)
(Ⅱ)当时,
=
所以
……………(10分).
略
20. (本小题满分13分)
平面内两定点的坐标分别为,P为平面一个动点,且P点的横坐标. 过点P作垂直于直线,垂足为,并满足.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)当动点P的轨迹加上两点构成的曲线为C. 一条直线与以点 为圆心,半径为2的圆相交于两点. 若圆与轴的左交点为F,且. 求证:直线与曲线C只有一个公共点.
参考答案:
(1)设,则:
所以:,即: , -----4分
(2)由(1)知曲线C的方程为,圆M的方程为,则
设
①当直线斜率不存在时,设的方程为:,则:
,
因为,所以:,即:
因为点A在圆M上,所以:代入上式得:
所以直线的方程为:(经检验x=-2不合题意舍去),
与曲线C只有一个公共点. ------5分
经检验x=-2不合题意舍去
所以 x=2 -------6分
②当直线斜率存在时,设的方程为:,联立直线与圆的方程:
,消去得:
所以: ------------8分
因为:,且
所以:
又因为:,
所以:
代入得:,
化简得:--------10分
联立直线与曲线C的方程:
,消去得:
----12分
因为:,所以,即直线与曲线C只有一个公共点
21. 已知f(x)是R上奇函数
(I)求a,b的值;
(Ⅱ)解不等式f[-3(log3x)2-2log3 x]+f[2(log3x)2+ 3]<0
参考答案:
22. 已知函数f(x)=cos2x(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且B=30°,c=,f(C)=1,判断△ABC的形状,并求三角形ABC的面积.
参考答案:
【考点】二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数.
【专题】三角函数的求值.
【分析】(1)利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出;
(2)利用三角函数的单调性与周期性可得C,利用直角三角形的边角公式即可得出.
【解答】解:(1)==,
∵x∈R,∴,
∴f(x)的最小值是﹣1,
∴,
故其最小正周期是π
(2)∵f(C)=1,
∴,
又∵0<2C<2π,∴,
∴,∴,
∵B=,∴A=,
∴△ABC 是直角三角形.
∴=2,
∴b=1,
设三角形ABC的面积为S,
∴S===.
【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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