2022年广东省汕头市澄海业余中学高三数学文模拟试卷含解析

2022年广东省汕头市澄海业余中学高三数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a，b均为实数，且方程无实根，则函数是增函数的概率是 A．       B．        C．      D． 参考答案： A 2. 正方体中对角线与平面所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 3. 欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e﹣i表示的复数在复平面中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），结合三角函数的符号，即可得出结论． 【解答】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1）， ∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0， ∴e﹣i表示的复数在复平面中位于第四象限． 故选D． 【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础． 　 4.  设集合，，则  （    ）    A．  B．      C．    D．      参考答案： C 5. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（　　） A．2 B．1 C． D． 参考答案： C 考点： 由三视图求面积、体积．  专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积． 解答： 解：根据几何体的三视图，得 该几何体是如图所示的直三棱柱； 且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1； 所以，该三棱柱的体积为 V=Sh=×1×1×1=． 故选：C． 点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目． 6. 函数满足且时，，函数则函数在区间内的零点个数为（   ） （A）5              （B）7          (C)8            (D)  10 参考答案： 7. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒（    ）   A．21                 B．24              C．27               D．30 参考答案： C 8. 在中，已知，则三角形的形状是 （    ） A．直角三角形      B．等腰三角形      C．等边三角形        D．等腰直角三角形 参考答案： B 9. 已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣，]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，] C．[﹣1，] D．[，+∞） 参考答案： A 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）﹣2017x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[﹣，]单调递增，求导，则g'（x）≥0恒成立，则k≤sin（x+）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围． 【解答】解：若方程f'（x）=0无解， 则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数， ?x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017， 则f（x）﹣2017x为定值， 设t=f（x）﹣2017x，则f（x）=t+2017x，易知f（x）为R上的增函数， ∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx， ∴， 又g（x）与f（x）的单调性相同， ∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[﹣，]，g'（x）≥0恒成立， 当时，，， ， 此时k≤﹣1， 故选A． 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题． 10. 命题“对任意的，”的否定是 A．不存在， B．存在， C. 存在， D. 对任意的， 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的a=_____. 参考答案： 3 【分析】 解法一：按照程序框图运行程序，直到时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解与的最大公约数. 【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：， 则，，，不满足，循环； 则，，，不满足，循环； 则，，，不满足，循环； 则，，，满足，输出 解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数 因为与的最大公约数为    本题正确结果： 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题. 12. 函数的最小正周期为     参考答案： 13. 已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且＝4．则＋的最小值是　　　　　. 参考答案： 14. 已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围是     __________ . 参考答案： 略 15. 抛物线的焦点坐标为         ． 参考答案： 略 16. 在数列中{an}，它的前n项和Sn=1﹣nan（n∈N+），则数列{an}的通项公式为　　． 参考答案： 略 17. 已知集合，那么              . 参考答案： {1，-1}   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：对任意的都有，又. (I)求数列{ an }的通项公式； （II）令，求 参考答案： （Ⅰ）由① ，得（，）②. ①- ②，得，即（，）. ………………3分           由，，得， 所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列， 因此，. ……………… 6分 （Ⅱ）由，得，          ……………… 7分 所以，               ………………9分 所以 .                           ……………… 12分 19. 不等式选讲 已知函数． (Ⅰ)解不等式:； (Ⅱ)当时, 不等式恒成立,求实数的取值范围．   参考答案： 解析：(Ⅰ)原不等式等价于:当时,,即； 当时,,即 ； 当时,,即. 综上所述,原不等式的解集为.…………（5分） (Ⅱ)当时, = 所以      ……………（10分）.   略 20. (本小题满分13分) 平面内两定点的坐标分别为，P为平面一个动点，且P点的横坐标. 过点P作垂直于直线，垂足为，并满足. （1）求动点P的轨迹方程. （2）当动点P的轨迹加上两点构成的曲线为C. 一条直线与以点 为圆心，半径为2的圆相交于两点. 若圆与轴的左交点为F，且. 求证：直线与曲线C只有一个公共点. 参考答案： （1）设，则：         所以：，即： ，  -----4分 （2）由(1)知曲线C的方程为,圆M的方程为，则     设 ①当直线斜率不存在时，设的方程为：，则： ， 因为，所以：，即： 因为点A在圆M上，所以：代入上式得： 所以直线的方程为：（经检验x=-2不合题意舍去）， 与曲线C只有一个公共点.  ------5分 经检验x=-2不合题意舍去 所以 x=2               -------6分 ②当直线斜率存在时，设的方程为：，联立直线与圆的方程： ，消去得： 所以：              ------------8分 因为：，且 所以： 又因为：， 所以： 代入得：， 化简得：--------10分 联立直线与曲线C的方程： ，消去得：     ----12分 因为：，所以，即直线与曲线C只有一个公共点   21.    已知f(x)是R上奇函数    （I）求a,b的值；    (Ⅱ)解不等式f[-3(log3x)2－2log3 x]+f[2(log3x)2+ 3]<0 参考答案： 22. 已知函数f（x）=cos2x（x∈R）． （1）求函数f（x）的最小值和最小正周期； （2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B=30°，c=，f（C）=1，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积． 参考答案： 【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数． 【专题】三角函数的求值． 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出； （2）利用三角函数的单调性与周期性可得C，利用直角三角形的边角公式即可得出． 【解答】解：（1）==， ∵x∈R，∴， ∴f（x）的最小值是﹣1， ∴， 故其最小正周期是π （2）∵f（C）=1， ∴， 又∵0＜2C＜2π，∴， ∴，∴， ∵B=，∴A=， ∴△ABC 是直角三角形． ∴=2， ∴b=1， 设三角形ABC的面积为S， ∴S===． 【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．