概率统计基础 2随机变量的概率分布和数字特征

第第 2 章章 随机变量的概率分布和随机变量的概率分布和数字特征数字特征授课老师：授课老师：李芳凤李芳凤 email:随机变量(randomvariables)1.一次试验的结果的数值性描述2.事先不知道会出现什么结果投掷两枚硬币出现正面的数量3.一般用 X，Y，Z 来表示4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量(discreterandomvariables)1.随机变量X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1,X2，2.以确定的概率取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查查100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾顾客数客数销销售量售量顾顾客性客性别别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性男性为为0,女性女性为为1离散型随机变量的概率分布概率分布1.列出离散型随机变量X的所有可能取值2.列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pn4.P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0【例例】如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi0 1 2 3P(X=xi)pi0.05 0.10 0.55 0.30【例例】一袋中有3个白球和2个红球，从中有放回地抽两球。那么取到的白球数是一个随机变量，求X的分布律。X的可能取值为0,1,2，对应的概率为X=xi0 1 2 P(X=xi)pi三种重要的离散型随机变量(01分布)n一个离散型随机变量X只取两个可能的值q例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示【例例】已知一批产品的废品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.05=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi1 0P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50 01 11 1x xP P(x x)二项试验(贝努里试验)1.二项分布二项分布与贝努里试验有关2.n重贝努里试验具有如下属性q试验包含了n 个相同的试验q每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”q出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p+q=1q试验是相互独立的q试验“成功”或“失败”可以计数二项分布(Binomialdistribution)1.进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布2.设X为n次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为二项分布显然满足 PX=x 0，x=1,2,n，当 n=1时，二项分布化简为二项分布(例题分析)【例例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB(3,0.05)，根据二项分布公式有 知识点回顾n全概公式:设事件A1，A2，An 为样本空间的一个划分，P(Ai)0(i=1,2,n)，则对任意事件B，有知识点回顾1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则 P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此时概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(A)P(B)推广到n个独立事件，有n P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)知识点回顾n离散型随机变量：随机变量X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1,X2，n离散型随机变量的概率分布概率分布X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pnn01分布：一个离散型随机变量X只取两个可能的值知识点回顾X=xi1 0P(X=xi)=pip 1-p知识点回顾1.n重贝努里试验具有如下属性q试验包含了n 个相同的试验q每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”q出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p+q=1q试验是相互独立的q试验“成功”或“失败”可以计数知识点回顾1.进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布2.设X为n次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为【练练习习】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中(1)没有次品的概率是多少？(2)有3个以下次品的概率是多少？二项分布(用Excel计算概率)n第第1步步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令n第第2步步：在【选选择择类类别别】中点击【统统计计】，并在【选选择择函函数数】中点击【BINOMDIST】，然后单击【确定】n第第3步步：在【Number_s】后填入试验成功次数,在【Trials】后填入总试验次数(本例为5),在【Probability_s】后填入试验的成功概率,在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)计算二项分布的概率计算二项分布的概率计算二项分布的概率计算二项分布的概率计算二项分布的概率计算二项分布的概率泊松分布(Poissondistribution)1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一事件出现次数的分布2.泊松分布的例子一个城市在一个月内发生的交通事故次数一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数泊松概率分布函数 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e=2.71828 k 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数泊松分布(例题分析)【例例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解解：【练练习习】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？解：解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数 泊松分布(用Excel计算概率)n第第1步步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令n第第2步步：在【选选择择类类别别】中点击【统统计计】，并在【选选择择函函数数】中点击【POISSON】，然后单击【确定】n第第3步步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6)n在【Means】后填入泊松分布的均值(本例为7)n在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或TRUE表示计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值)计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率泊松分布(作为二项分布的近似)1.当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即2.实际应用中，当 P0.05，n20时，近似效果良好。【例例】已知某批集成电路的次品率为0.15%，随机抽取1000块集成电路。求次品数为0,1,2,3的概率。解：解：把“集成电路的次品数”看成随机变量X，则则X服从二项分布，p=0.0015,n=1000这样计算比较麻烦，考虑用泊松分布计算。n因为p=0.001520,所以可以用泊松分布近似计算。n=np=1.5超几何分布(hypergeometricdistribution)1.采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等2.总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布3.设有N件产品，其中M件次品，从中抽取n件，则n件中含次品数X的概率分布函数为【例例】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求有3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？解：解：设N=10，M=3，n=4超几何分布(用Excel计算概率)n第第1步步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令n第第2步步：在【选选择择类类别别】中点击【统统计计】，并在【选选择择函函数数中点击【HYPGEOMDIST】，然后单击【确定】n第第3步步：在【Sample_s】后填入样本中成功的次数x(本例为3)在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4)n在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例为3)n在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N(本例为10)计算超几何分布的概率计算超几何分布的概率计算超几何分布的概率计算超几何分布的概率计算超几何分布的概率计算超几何分布的概率连续型随机变量(continuousrandomvariables)1.随机变量X 取无限个值2.所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点3.连续型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取可能的取值值抽抽查查一批一批电电子元件子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长长度度使用寿命使用寿命(小小时时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测测量量误误差差(cm)X 00 X 100X 0连续型随机变量的概率分布1.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率5.用数学函数的形式和分布函数的形式来描述概率密度函数(probabilitydensityfunction)1.设X为一连续型随机变量，x为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件2.f(x)不是概率概率密度函数n在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 a b，P(a X b)是是该该曲曲线下从线下从a到到 b的面积的面积f(x)xab分布函数(distributionfunction)1.连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示2.分分布函数布函数定义为3.根据分布函数，P(aXb)可以写为分布函数与密度函数的图示1.密度函数曲线下的面积等于12.分布函数F(x0)是曲线下x小于 x0 部分的面积f(x)xx0F F(x x0 0 )正态分布(normaldistribution)n1.描述连续型随机变量的最重要的分布n2.可用于近似离散型随机变量的分布q例如:二项分布n3.许多现象都可以由正态分布来描述n4.经典统计推断的基础x xf f(x x)概率密度函数nf(x)=随机变量 X 的频数 n=总体方差 n=3.14159;e=2.71828nx=随机变量的取值(-x=0。2.正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数。3.正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值和标准差来区分。决决定定了了图图形的中心位置形的中心位置,决定曲线的平缓程度。决定曲线的平缓程度。正态分布函数的性质4.曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5.正态曲线下的总面积等于1。6.随机变量的概率由曲线下的面积给出。和 对正态曲线的影响xf(x)CABU决定了图形的中心位决定了图形的中心位置，置，决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度。的陡峭程度。正态分布的概率概率是曲线下的面积面积!a ab bx xf f(x x)标准正态分布(standardnorm