信号与系统第3章 信号与线性非时变系统的傅里叶描述）

第三章 信号与线性非时变系统的傅里叶描述n3.1 LTI系统对复指数信号的响应：频率响应系统对复指数信号的响应：频率响应n3.2-3.84种信号的傅里叶描述种信号的傅里叶描述n建立概念：傅里叶变换与傅里叶逆变换建立概念：傅里叶变换与傅里叶逆变换n例题分析：信号的计算方法与应用例题分析：信号的计算方法与应用n对比：对比：4种傅里叶描述的区别及含义种傅里叶描述的区别及含义n数值计算：傅里叶描述的数值计算：傅里叶描述的Matlab实现实现n3.9-3.18 傅里叶描述的特性傅里叶描述的特性n性质证明及应用性质证明及应用nMatlab计算计算n小结小结一段音乐一段音乐与乐谱与乐谱2时时频频不同琴键不同琴键不同频率的正弦信号不同频率的正弦信号不同力度的敲击不同力度的敲击不同振幅不同振幅不同时间不同时间点点组合成一首随时间变化的乐曲组合成一首随时间变化的乐曲33.1 引言引言nLTI系统满足线性、非时变性。系统满足线性、非时变性。n信号在时域的分解，基本单元信号满足以下要求：信号在时域的分解，基本单元信号满足以下要求：n本身简单，本身简单，LTI系统对其响应能简便得到；系统对其响应能简便得到；n具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。一、回顾：时域分析方法的基础一、回顾：时域分析方法的基础LTI系统的冲激响应描述代表了系统的全部时域特征：系统的冲激响应描述代表了系统的全部时域特征：任何信号均可表示为以该信号为权重的冲激信号的线性叠加任何信号均可表示为以该信号为权重的冲激信号的线性叠加;任何输入信号经过任何输入信号经过LTI系统后的输出信号，都可以表示成输入系统后的输出信号，都可以表示成输入信号与系统冲激响应的卷积和或卷积积分。信号与系统冲激响应的卷积和或卷积积分。思考：频域分析思考：频域分析是否可以效仿？是否可以效仿？4二、历史回顾：频域分析方法的建立二、历史回顾：频域分析方法的建立(Joseph Fourier)傅里叶分析：傅里叶分析：利用信号的正弦表示，研究信号与系统在频域利用信号的正弦表示，研究信号与系统在频域范围内性质的方法。范围内性质的方法。3.1 引言引言自然界一种重要而普遍的信号存在形式；自然界一种重要而普遍的信号存在形式；最容易产生和控制的一种信号；最容易产生和控制的一种信号；人类最容易应用的一种标准信号；人类最容易应用的一种标准信号；目前应用最多和最有效应用的信号。目前应用最多和最有效应用的信号。特点是什么？特点是什么？作为输入信号，经作为输入信号，经LTI系统后的响应是否与频率有关？系统后的响应是否与频率有关？任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件是任何信号是否可以用正弦信号表示？如何表示？条件是什么？什么？正弦信号为何可作为频域分析的基本正弦信号为何可作为频域分析的基本单元单元信号？信号？利用正弦函数近似周期信号利用正弦函数近似周期信号u以正弦信号的以正弦信号的倍频数倍频数为自变为自变量，量，权重系数权重系数为因变量，可为因变量，可得到信号的频谱。得到信号的频谱。68傅里叶级数傅里叶级数 vs.傅里叶变换傅里叶变换周期周期非周期非周期离散离散连续连续3.2 复正弦信号及复正弦信号及LTI系统的频率响应系统的频率响应n正弦信号：正弦信号：或：或：n复指数（正弦）信号：复指数（正弦）信号：或：或：10欧拉公式欧拉公式：一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。螺旋线在左侧的投影，即实数部分，是一个最基础的余弦函数；螺旋线在左侧的投影，即实数部分，是一个最基础的余弦函数；右侧的投影是虚数部分，是一个正弦函数。右侧的投影是虚数部分，是一个正弦函数。3.2 正弦信号、复指数信号及正弦信号、复指数信号及LTI系统的系统的频率响应频率响应一、一、LTI系统对复正弦信号的响应系统对复正弦信号的响应n离散：离散：n连续：连续：仅取决于频率仅取决于频率根据时域分析的方法求解：根据时域分析的方法求解：3.2 正弦信号、复指数信号及正弦信号、复指数信号及LTI系统系统的频率响应的频率响应n正弦响应：正弦响应：频率响应特性频率响应特性复常数：复常数：频率为频率为的复正弦信号经的复正弦信号经LTI系统后的输出，是系统后的输出，是只与该只与该频率有关的复常数频率有关的复常数与复正弦信号的乘积。与复正弦信号的乘积。n复正弦信号简单，求解复正弦信号简单，求解LTI系统对其的响应容易系统对其的响应容易1、信号的复正弦表示的特点、信号的复正弦表示的特点称为称为LTI系统对频率系统对频率的复正弦输入信号的的复正弦输入信号的频率响应频率响应。3.2 正弦信号、复指数信号及正弦信号、复指数信号及LTI系统系统的频率响应的频率响应2、频率响应函数、频率响应函数nLTI系统的输出为系统的输出为nLTI系统对输入的复正弦信号的响应，分别对输入信号系统对输入的复正弦信号的响应，分别对输入信号的振幅和相位进行了调整。的振幅和相位进行了调整。幅度响应：幅度响应：相位响应：相位响应：LTI系统对所有频率复正弦函数的频率响应的分布。系统对所有频率复正弦函数的频率响应的分布。该函数一般是复函数。该函数一般是复函数。P156，例，例3.13.2 正弦信号、复指数信号及正弦信号、复指数信号及LTI系统的系统的频率响应频率响应3、特征函数与特征值、特征函数与特征值 如果一个函数如果一个函数 通过系统后变为一个数值通过系统后变为一个数值 与该函与该函数相乘，称函数数相乘，称函数 是系统的是系统的特征函数特征函数，数值，数值 称为该称为该系统与此特征函数相对应的系统与此特征函数相对应的特征值特征值。n复正弦函数复正弦函数 是一切是一切LTI系统的特征函数系统的特征函数；其；其对应的特征值只是频率的函数，即：对应的特征值只是频率的函数，即：3.2 正弦信号、复指数信号及正弦信号、复指数信号及LTI系统系统的频率响应的频率响应nLTI系统对系统对表征为特征函数线性组合的输入信号表征为特征函数线性组合的输入信号的响应的响应输出信号：输出信号：输入信号：输入信号：M个复正弦特征函数的加权和（线性组合）个复正弦特征函数的加权和（线性组合）1）输出信号也是）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；个复指数特征函数的加权和；2）卷积运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算；）卷积运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算；3）输入与输出）输入与输出权重：权重：信号信号由时域表示转换为频域表示；由时域表示转换为频域表示；与每个频率的复正弦信号相联系的权重表示该频率的正弦与每个频率的复正弦信号相联系的权重表示该频率的正弦信号对整个信号的贡献。信号对整个信号的贡献。特点：特点：特点：特点：16二、傅里叶分析的引入二、傅里叶分析的引入l“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和（傅里叶级数）。和（傅里叶级数）。”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点l“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示（傅非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示（傅里叶变换）里叶变换）。”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点傅里叶分析：傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。3.3-3.8 四种信号的傅里叶表示四种信号的傅里叶表示一、从傅里叶分析的角度，信号可分为一、从傅里叶分析的角度，信号可分为4种类型种类型n连续连续时间时间周期周期信号信号n离散离散时间时间周期周期信号信号n连续连续时间时间非周期非周期信号信号n离散离散时间时间非周期非周期信号信号傅里叶傅里叶变换变换（Fourier transform,FT）离散时间傅里叶离散时间傅里叶变换变换（discrete-time Fourier transform,DTFT）傅里叶傅里叶级数级数（Fourier series,FS）离散时间傅里叶离散时间傅里叶级数级数（discrete-time Fourier series,DTFS）傅里叶分析：傅里叶分析：利用复正弦信号，通过利用复正弦信号，通过傅里叶级数傅里叶级数及及傅里叶傅里叶变换变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。3.3 四种信号的傅里叶表示四种信号的傅里叶表示狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）条件：）条件：1、信号是有界且单值的；、信号是有界且单值的；2、任何区间内绝对可积（或绝对可和）；、任何区间内绝对可积（或绝对可和）；3、信号在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值；、信号在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值；4、信号在任何有限区间内只有有限个不连续点。、信号在任何有限区间内只有有限个不连续点。二、二、傅里叶分析：信号所需满足的条件傅里叶分析：信号所需满足的条件狄里赫利条件是充分条件，但不是必要条件。即：狄里赫利条件是充分条件，但不是必要条件。即：满足狄里赫利条件就一定可以用傅里叶分析方法对满足狄里赫利条件就一定可以用傅里叶分析方法对信号进行分析；有一些不满足狄里赫利条件的信号，也信号进行分析；有一些不满足狄里赫利条件的信号，也还是可以用傅里叶分析方法分析还是可以用傅里叶分析方法分析例如冲激信号。例如冲激信号。三、周期信号：傅里叶级数表示三、周期信号：傅里叶级数表示1、连续周期信号：连续周期信号：FSn复正弦形式复正弦形式的傅里叶级数展开：的傅里叶级数展开：为为为为基频基频基频基频：叠加项中最小非零频率、常数；：叠加项中最小非零频率、常数；：叠加项中最小非零频率、常数；：叠加项中最小非零频率、常数；叠加项中各复正弦信号的频率是信号基频的叠加项中各复正弦信号的频率是信号基频的叠加项中各复正弦信号的频率是信号基频的叠加项中各复正弦信号的频率是信号基频的整数倍整数倍整数倍整数倍（）,即：各正弦信号是基频正弦的即：各正弦信号是基频正弦的即：各正弦信号是基频正弦的即：各正弦信号是基频正弦的谐波谐波谐波谐波，各正弦信号必须与信号具有各正弦信号必须与信号具有各正弦信号必须与信号具有各正弦信号必须与信号具有公共周期公共周期公共周期公共周期T T。对所有对所有t 成立成立,n频谱的概念频谱的概念傅里叶分析表明：傅里叶分析表明：连续时间周期信号可以按傅里叶级数连续时间周期信号可以按傅里叶级数分解成无数个复正弦谐波分量的加权叠加。分解成无数个复正弦谐波分量的加权叠加。各谐波分量仅是幅度和频率的各谐波分量仅是幅度和频率的不同。由频谱图可见，信号的频谱不同。由频谱图可见，信号的频谱完全代表信号，这种表示信号的方完全代表信号，这种表示信号的方法称为法称为频域表示法频域表示法.21n连续时间傅里叶级数系数的确定连续时间傅里叶级数系数的确定两边同时在一个两边同时在一个周期内求积分：周期内求积分：傅里叶系数：傅里叶系数：22n小结：小结：连续时间周期信号连续时间周期信号傅里叶级数（傅里叶级数（Fourier series,FS）特点：时域信号周期性、连续；特点：时域信号周期性、连续；频域表示离散化、频谱非周期性。频域表示离散化、频谱非周期性。傅里叶系数傅里叶系数（FS，）时域周期信号时域周期信号频谱系数频谱系数23nDTFS表达式：表达式：对于整数对于整数n 成立成立基本周期：基本周期：N，基频：基频：时域周期性时域周期性：频域周期性频域周期性：N个独立信号个独立信号2、离散时间周期信号：离散时间周期信号：discrete-time Fourier series,DTFS24n离散时间傅里叶级数系数的确定离散时间傅里叶级数系数的确定两边同时在一个两边同时在一个周期内求和：周期内求和：傅里叶系数：傅里叶系数：25时域周期信号时域周期信号特点：时域信号周期性、离散；特点：时域信号周期性、离散；频域表示离散