测量学：第5章测量误差基本知识

测量学测量学第五第五章章 测量误差基本知识测量误差基本知识4915-1 测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性492一、测量误差产生的原因产生产生测量测量误差的三个因素：误差的三个因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限性仪器精度的局限性,轴系残余误差等；轴系残余误差等；人的原因人的原因 判断力和分辨力的限制判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；经验缺乏等；外界影响外界影响 气象因素如温度变化气象因素如温度变化,风力风力,大气折光等大气折光等 。结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外粗差除外)有关名词：有关名词：观测条件观测条件 上述三大因素总称为观测条件上述三大因素总称为观测条件 观测精度观测精度 在观测条件基本相同的情况下进行的在观测条件基本相同的情况下进行的 观测，称为观测，称为“等精度观测等精度观测”；否则，；否则，称为称为“不等精度观测不等精度观测”。493二、测量误差的分类与处理原则（一）（一）系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号如果误差的出现在符号(正负号正负号)和数值上都相同，或和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理数学或物理)的规的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。法使其削弱或抵消。494 按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。误差、偶然误差和粗差。495 钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长改正 钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度改正 水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距 经纬仪视准轴误差 C 盘左盘右观测,取平均值 对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）（三）粗差 由于观测者的粗心大意由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为大的误差称为“粗差粗差”(俗称错误俗称错误)，应避免和舍弃粗差。，应避免和舍弃粗差。偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。496（二）偶然误差（四）误差处理原则497粗粗 差差 细心观测，用多余观测和几何条 来件来发现，将含有粗差的观测 值剔除。系统误差系统误差 找出发生规律，用观测方法和 加改正值等方法抵消。偶然误差偶然误差 用多余观测减少其影响，利用 几何条件检核，用“限差”来 限制。三、偶然误差的特性 偶然误差的定义 设某一量的真值为设某一量的真值为X X，对该量进行，对该量进行 n n 次观测，得次观测，得n n个观测值个观测值 ，产生，产生n n个真误个真误498l1,l2,ln1,2,n真值与观测值之差定义为真值与观测值之差定义为“真误差真误差”,真误差属于偶然真误差属于偶然误差误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为例如三角形三个内角之和为180180(真值真值),),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形称为三角形角度闭合差角度闭合差)。多次观测中寻找偶然误差的规律：多次观测中寻找偶然误差的规律：对对358358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为三角形内角之和的真值为180180，观测值为三个内角之和，观测值为三个内角之和 (i i+i i+i i)，因此，因此其真误差其真误差(三角形闭合差三角形闭合差)为：为：i=180(i+i+i)观测数据统计结果列于观测数据统计结果列于表表5-1,5-1,据此分析三角形据此分析三角形内角和的真误差内角和的真误差 i i 的的分布规律。分布规律。分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。而且，观测次数越多，规律性越明显。499 表表5-1 5-1 偶然误差的统计 4910误差区间 d 负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上000000181050517704953581000偶然误差的特性 1.1.1.1.有界性：有界性：有界性：有界性：在有限次观测在有限次观测中，偶然误差不超过一定数中，偶然误差不超过一定数值；值；2.2.2.2.趋向性：趋向性：趋向性：趋向性：误差绝对值小误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；值大的出现的频率小；3.3.3.3.对称性对称性对称性对称性：绝对值相等的绝对值相等的正负误差频率大致相等；正负误差频率大致相等；4.4.4.4.抵偿性：抵偿性：抵偿性：抵偿性：当观测次数无当观测次数无限增大时，由于正负相消，限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：用公式表示为：4911三角形闭合差的频率直方图三角形闭合差的频率直方图特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小(d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲正态分布曲线线”，又称为，又称为“高斯误差分高斯误差分布曲线布曲线”。所以偶然误差所以偶然误差具有具有正态分布正态分布的特性。的特性。图6-1 误差统计直方图 正态分布曲线以及标准差和方差4913 在统计理论上如果观测次数无限增多在统计理论上如果观测次数无限增多(n n)，而，而误差区间误差区间d d 又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线正态分布曲线”,其数学方程式为：其数学方程式为：式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：标准差的计算式：5-2 评定测量精度的标准一、中误差4914用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为用标准差计算式求得的称为“中误差中误差”，其计算式为：，其计算式为：选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表合差，分别按上式在表5-25-2中计算中误差，得到：中计算中误差，得到：第第1 1组组:m m1 1=2.72.7 第第2 2组组:m m2 2=3.63.6可见第可见第1 1组的观测精度高于第组的观测精度高于第2 2组。组。按观测值的改正值计算中误差4915表表5-25-2m m1 1较小较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m m2 2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=2.7m2=3.64916不同中误差的正态分布曲线不同中误差的正态分布曲线二、相对中误差 误差绝对值与观测量之比。用于表示距离距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。K2K1，所以距离所以距离S2精度较高精度较高。例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m；S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。计算计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。0.02 1 0.02 1 K1=；K2=100 5000 200 10000解：解：三、极限误差 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|49195-3 观测值的算术平均值及改正值 一、算术平均值 在相同的观测条件下，对某一量进行在相同的观测条件下，对某一量进行n n次观测，观次观测，观测值为测值为l li i (i=1i=1n n),),取其取其算算术术平均平均值值 作作为该为该量的最可量的最可靠的数靠的数值值（故也称（故也称“最或然最或然值值”）：）：算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：证明算术平均值是最或然值4920按真值计算各个按真值计算各个观测值的真误差：观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较故算术平均值比较接近于真值，而成接近于真值，而成为最可靠的数值：为最可靠的数值：二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值)v:4921对对vvvv求极小值：求极小值：算术平均值符合最小二乘法原理算术平均值符合最小二乘法原理取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。5-4 观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行在同样观测条件下对某一量进行n n次观测，求得算术平均次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值值及观测值的各个改正值 v v，据此计算观测值的中误差：据此计算观测值的中误差：4922对比按真误差对比按真误差计算中误差的公式：计算中误差的公式：两者差别仅在于以（两者差别仅在于以（n n1 1）代替）代替 n n，以以 代替真值代替真值X X：两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：并顾及偶然误差的相消性，可以证明：因此因此可以可以按观测值的改正值计算中误差按观测值的改正值计算中误差算术平均值计算的实用公式 由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为相同部分为l l0 0 ,差异部份为差异部份为ll，即，