机器人机构分析与综合课件：3_2_1 机器人运动学

机器人运动学机器人运动学3.1 3.1 坐标变换坐标变换3.2 3.2 运动学方程运动学方程 06 06 九月九月 2022 2022机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022运动学研究的问题运动学研究的问题：手在空间的运动手在空间的运动与与各个各个关节的运动关节的运动之间的关系。之间的关系。正问题正问题：已知关节运动，求：已知关节运动，求 手的运动。手的运动。逆问题逆问题：已知手的运动，求：已知手的运动，求 关节运动。关节运动。机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022数学模型数学模型：手的运动手的运动位姿变化位姿变化位姿矩阵位姿矩阵M 关节运动关节运动参数变化参数变化关节变量关节变量qi，i=1，n运动学方程运动学方程：M=f(qi)，i=1，n正问题正问题：已知：已知qi，求，求M。逆问题逆问题：已知：已知M，求，求qi。机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022预备知识预备知识、机器人位姿的表示、机器人位姿的表示、机器人的坐标系、机器人的坐标系机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022、机器人位姿的表示、机器人位姿的表示机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有时也会用到其它各个活动杆件在空间的位和姿态，有时也会用到其它各个活动杆件在空间的位置和姿态。置和姿态。机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022位置可以用一个位置可以用一个3 31 1的位置矩阵来描述。的位置矩阵来描述。(,)机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022姿态可以用坐标系姿态可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的三个坐标轴两两夹角的余弦值组成余弦值组成3 33 3的姿态的姿态矩阵来描述。矩阵来描述。(,)hhhh机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022 例：右图所示两坐例：右图所示两坐标系的姿态为：标系的姿态为：00001111机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 20222 2、机器人的坐标系、机器人的坐标系手部坐标系手部坐标系参考机器人手部的坐标系，也称机参考机器人手部的坐标系，也称机器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中的位置和姿态。的位置和姿态。机座坐标系机座坐标系参考机器人机座的坐标系，它是机参考机器人机座的坐标系，它是机器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。杆件坐标系杆件坐标系参考机器人指定杆件的坐标系，它参考机器人指定杆件的坐标系，它是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的运动而运动。运动而运动。绝对坐标系绝对坐标系参考工作现场地面的坐标系，它是参考工作现场地面的坐标系，它是机器人所有构件的公共参考坐标系。机器人所有构件的公共参考坐标系。机器人运动学机器人运动学06 06 九月九月 2022 2022手部坐标系手部坐标系 h 机座坐标系机座坐标系 0 杆件坐标系杆件坐标系 i i=1，n绝对坐标系绝对坐标系 B 3.1 3.1 坐标变换坐标变换1 1、直角坐标变换、直角坐标变换2 2、齐次坐标变换、齐次坐标变换06 06 九月九月 2022 20223.1 3.1 坐标变换坐标变换1 1、直角坐标变换、直角坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj坐标之间的变换关系：坐标之间的变换关系：平移变换平移变换旋转变换旋转变换（1）平移变换）平移变换 设坐标系设坐标系 i 和坐标系和坐标系 j 具有相同的姿态，但它俩具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用的坐标原点不重合，若用 矢量表示坐标系矢量表示坐标系 i 和坐标和坐标系系 j 原点之间的矢量，则坐标系原点之间的矢量，则坐标系 j 就可以看成是由坐就可以看成是由坐标系标系 i 沿矢量沿矢量 平移变换而来的，所以称矢量平移变换而来的，所以称矢量 为为平平移变换矩阵移变换矩阵，它是一个，它是一个3 31 1的矩阵，即：的矩阵，即：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（1）平移变换）平移变换 若空间有一点在坐标系若空间有一点在坐标系 i 和坐标系和坐标系 j 中分别用矢中分别用矢量量 和和 表示，则它们之间有以下关系：表示，则它们之间有以下关系：称上式为称上式为坐标平移方程坐标平移方程。iiiijjjj（2）旋转变换）旋转变换 设坐标系设坐标系 i 和坐标系和坐标系 j 的原点重合，但它俩的姿的原点重合，但它俩的姿态不同，则坐标系态不同，则坐标系 j 就可以看成是由坐标系就可以看成是由坐标系 i 旋转变旋转变换而来的，旋转变换矩阵比较复杂，最简单的是绕一根换而来的，旋转变换矩阵比较复杂，最简单的是绕一根坐标轴的旋转变换，下面以此来对旋转变换矩阵作以说坐标轴的旋转变换，下面以此来对旋转变换矩阵作以说明。明。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj（2）旋转变换）旋转变换绕绕z轴旋转轴旋转角角 坐标系坐标系 i 和坐标系和坐标系 j 的原点重合，坐标系的原点重合，坐标系 j 的的坐标轴方向相对于坐标系坐标轴方向相对于坐标系 i 绕轴旋转了一个绕轴旋转了一个角。角。角的正负一般按右手法则确定，即由角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆轴的矢端看，逆时钟为正时钟为正。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj（2）旋转变换）旋转变换绕绕z轴旋转轴旋转角角 若空间有一点若空间有一点p，则其，则其在坐标系在坐标系 i 和坐标系和坐标系 j 中中的坐标分量之间就有以下关系：的坐标分量之间就有以下关系：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj（2）旋转变换）旋转变换绕绕z轴旋转轴旋转角角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2）旋转变换）旋转变换绕绕z轴旋转轴旋转角角 将上式写成矩阵的形式，则有：将上式写成矩阵的形式，则有：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2）旋转变换）旋转变换绕绕z轴旋转轴旋转角角 再将其写成矢量形式，则有：再将其写成矢量形式，则有：称上式为坐标旋转方程，式中：称上式为坐标旋转方程，式中：p点在坐标系点在坐标系ii中的坐标列阵（矢量）；中的坐标列阵（矢量）；点在坐标系点在坐标系jj中的坐标列阵（矢量）；中的坐标列阵（矢量）；坐标系坐标系jj变换到坐标系变换到坐标系ii的的旋转变换矩阵旋转变换矩阵，也称为也称为方向余弦矩阵方向余弦矩阵。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2）旋转变换）旋转变换绕绕x x轴旋转轴旋转角的角的 旋转变换矩阵为：旋转变换矩阵为：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj（2）旋转变换）旋转变换绕绕y y轴旋转轴旋转角的角的 旋转变换矩阵为：旋转变换矩阵为：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022iiiijjjj（2）旋转变换）旋转变换旋转变换矩阵的逆矩阵旋转变换矩阵的逆矩阵 旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转轴旋转角角为例，其为例，其逆向变换即为绕逆向变换即为绕z轴旋转轴旋转-角角，则其旋转变换，则其旋转变换矩阵就为：矩阵就为：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2）旋转变换）旋转变换旋转变换矩阵的逆矩阵旋转变换矩阵的逆矩阵 比较以下两式：比较以下两式：结论结论：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2）旋转变换通用表达式）旋转变换通用表达式 旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵，旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵，是一个是一个3 33 3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系的矩阵，其中的每个元素就是坐标系 i 和和坐标系坐标系 j 相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系 j 相对于坐标系相对于坐标系 i 的姿态（方向）。的姿态（方向）。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（3）联合变换）联合变换 设坐标系设坐标系ii和坐标系和坐标系jj之间存在先平移变换，后之间存在先平移变换，后旋转变换，则空间任一点在坐标系旋转变换，则空间任一点在坐标系ii和坐标系和坐标系jj中中的矢量之间就有以下关系：的矢量之间就有以下关系：称上式为直角坐标系中的坐标称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程联合变换方程。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022例例：已知坐标系：已知坐标系BB的初始位置与坐标系的初始位置与坐标系AA重合，首先重合，首先 坐标系坐标系BB沿坐标系沿坐标系AA的的x x轴移动轴移动1212个单位，并沿坐个单位，并沿坐 标系标系AA的的y y轴移动轴移动6 6个单位，再绕坐标系个单位，再绕坐标系AA的的z z轴旋轴旋 转转3030，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某 点在坐标系点在坐标系BB中的矢量为中的矢量为 ，求该点，求该点 在坐标系在坐标系AA中的矢量。中的矢量。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022解解：由题意：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：，则：则：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（1 1）齐次坐标的定义）齐次坐标的定义 空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用 表示，若有四个不同时为零的数表示，若有四个不同时为零的数 与三个直角坐标分量之间存在以下关系：与三个直角坐标分量之间存在以下关系：则称则称 是空间该点的齐次坐标。是空间该点的齐次坐标。3.1 3.1 坐标变换坐标变换2 2、齐次坐标变换、齐次坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（1 1）齐次坐标的定义）齐次坐标的定义齐次坐标的性质齐次坐标的性质.空间中的任一点都可用齐次坐标表示；空间中的任一点都可用齐次坐标表示；.空间中的任一点的直角坐标是单值的，但其对应的空间中的任一点的直角坐标是单值的，但其对应的齐次坐标是多值的；齐次坐标是多值的；.k是比例坐标，它表示直角坐标值与对应的齐次坐标是比例坐标，它表示直角坐标值与对应的齐次坐标值之间的比例关系；值之间的比例关系；.若比例坐标若比例坐标k=1，则空间任一点，则空间任一点(x,y,z)的齐次坐标的齐次坐标为为(x,y,z)，以后用到齐次坐标时，一律默认，以后用到齐次坐标时，一律默认k=1。3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2 2）齐次变换矩阵（）齐次变换矩阵（D-HD-H矩阵）矩阵）若坐标系若坐标系jj是是ii先沿矢量先沿矢量 平移，再绕平移，再绕z轴旋转轴旋转角得到的，则空间任一点在坐标角得到的，则空间任一点在坐标系系ii和坐标系和坐标系jj中的矢量和对应的变换矩阵之间就中的矢量和对应的变换矩阵之间就有有 ，写成矩阵形式则为：，写成矩阵形式则为：3.1 3.1 坐标变换坐标变换06 06 九月九月 2022 2022（2 2）齐次变换矩阵（）齐次变换矩阵（D-HD