电路课件：第15章 电路方程的矩阵形式

第第1515章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式割集割集15.1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.2矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系15.3*回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15.4结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式15.5列表法列表法15.7*割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式15.6*首首 页页本章重点本章重点l重点重点1.1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩2.2.阵和基本割集矩阵的概念阵和基本割集矩阵的概念2.2.回路电流方程、结点电压方程和割回路电流方程、结点电压方程和割3.3.集电压方程的矩阵形式集电压方程的矩阵形式返 回15.1 15.1 割集割集下 页上 页割集割集Q 连通图连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。876543219割集割集：(1 9 6)(2 8 9)(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8)(3 6 5 8 7),(3 6 2 8)是割集吗？是割集吗？问题问题返 回基本基本割集割集只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1 连支集合不能构成割集。连支集合不能构成割集。下 页上 页注意注意876543219属于同一割集的所有支路的电流应满足属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的上，则割集的KCL方程变为结点上的方程变为结点上的KCL方方程程。返 回下 页上 页注意注意对应一组线性独立的对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独方程的割集称为独立割集立割集，基本割集是独立割集，但独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。不一定是单树支割集。返 回15.2 15.2 关联矩阵、回路关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵、割集矩阵 图的矩阵表示是指图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：的矩阵形式。有三种矩阵形式：下 页上 页1.1.图的矩阵表示图的矩阵表示结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵返 回下 页上 页2.2.关联矩阵关联矩阵A 用矩阵形式描述用矩阵形式描述结点结点和和支路支路的关联性质。的关联性质。n个个结点结点b条支路的图用条支路的图用nb的矩阵描述：的矩阵描述：Aa=n b支路支路b结结点点 n每一行对应一个结点，每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。矩阵矩阵Aa的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：注意注意ajkajk=1 支路支路 k 与与结结点点 j 关联，方向背离关联，方向背离结结点；点；ajk=-1 支路支路 k 与与结结点点 j 关联，方向指向关联，方向指向结结点；点；ajk=0 支路支路 k 与结点与结点 j 无关。无关。返 回下 页上 页例例1特点特点每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一个，一个是是-1-1，Aa的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只行中导出，即只有有n-1行是独立的。行是独立的。返 回下 页上 页Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1降阶关联矩阵降阶关联矩阵A特点特点 A的某些列只具有一个的某些列只具有一个+1或一个或一个1，这样，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。行对应的结点可以当作参考结点。Aa=(n-1)b支路支路b结结点点n-1返 回下 页上 页关联矩阵关联矩阵A的作用的作用用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程；方程；设设:以结点以结点为参考结点为参考结点A i=-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 0 1 0n-1个独立个独立方程方程矩阵形式的矩阵形式的KCL:A i=0返 回下 页上 页用矩阵用矩阵AT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程。方程。设设:返 回下 页上 页2.2.回路矩阵回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。描述。B=l b支路支路b独独立立回回路路 l注意注意每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。矩阵矩阵B的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：bij1 1 支路支路 j 在回路在回路 i 中，且方向一致；中，且方向一致；-1-1 支路支路 j 在回路在回路 i中，且方向相反；中，且方向相反；0 支路支路 j 不在回路不在回路 i 中。中。返 回下 页上 页例例1123取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向 给定给定B可以画出对应的有向图。可以画出对应的有向图。123B=1 2 3 4 5 6 支支回回0 1 1 0 0 10 0 0 -1 1 -11 -1 0 0 -1 0注意注意基本回路矩阵基本回路矩阵Bf 独立回路对应一个树的单连枝回路得基本独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵回路矩阵Bf返 回支路排列顺序为先连支后树支，回路支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。顺序与连支顺序一致。下 页上 页 连支电流方向为回路电流方向；连支电流方向为回路电流方向；规定规定例例选选 2、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、3、4。1231123B=1 3 4 2 5 6 支支回回1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1BtBl=1 Bt 返 回下 页上 页回路矩阵回路矩阵B的作用的作用用用回路矩阵回路矩阵B表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程；方程；设设 ulut B u=1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1l个独立个独立KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：B u=0返 回 Bf u=0ul+Btut=0ul=-Btut设：设：连支电压可以用树支电压表示。连支电压可以用树支电压表示。用用回路矩阵回路矩阵BT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程下 页上 页注意注意独立回路电流独立回路电流返 回下 页上 页1231矩阵形式的矩阵形式的KCL：B T il=i 注意注意树支电流可以用连支电流表出。树支电流可以用连支电流表出。返 回下 页上 页3.3.基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。这里主要指基本割集矩阵。Q=(n-1)b支路支路b割割集集数数注意注意每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路每一列对应一条支路.矩阵矩阵Q的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：qij1 1 支路支路 j 在割集在割集 i 中，且与割集方向一致；中，且与割集方向一致；-1-1 支路支路 j 在割集在割集 i中，且与割集方向相反；中，且与割集方向相反；0 支路支路 j 不在割集不在割集 i 中。中。返 回下 页上 页规定规定割集方向为树支方向；割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵基本割集矩阵Qf例例1选选 1、2、3支路支路为树为树Q1:1,4,5 Q2:2,5,6 Q3:3,4,6返 回QlQt下 页上 页Qf=1 2 3 4 5 6 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11基本割集矩阵基本割集矩阵Qf的作用的作用用基本用基本割集矩阵割集矩阵Qf表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程。方程。设设返 回矩阵形式的矩阵形式的KCL：Qf i=0下 页上 页 Qf i=1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11n-1个独立个独立KCL方程方程返 回设树枝电压（或基本割集电压）：设树枝电压（或基本割集电压）：ut=u1 u2 u3 T用用QfT表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：Qf Tut=u下 页上 页返 回连支电压可以用树支电压表示。连支电压可以用树支电压表示。下 页上 页注意注意小结小结QABKCLKVLA i=0B T il =iul=-BtutBu=0Qfi=0QT ut=u返 回对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。质，它们之间自然存在着一定的关系。15.315.3*矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系1.1.A与与B 之间的关系之间的关系下 页上 页返 回对同一有向图，任选一树，对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序按先树枝后连枝顺序有：有：2.2.Bf 与与Qf 之间的关系之间的关系下 页上 页对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：返 回 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：枝顺序写出矩阵：3.3.A与与Qf 之间的关系之间的关系下 页上 页返 回下 页上 页例例已知：已知：1 2 3 4 5 Bf=1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0-1 0 0 0 1求基本割集矩阵，并画出网络图。求基本割集矩阵，并画出网络图。解解1返 回15.4 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.1.复合支路复合支路下 页上 页规定标准规定标准支路支路Zk(Yk)+-+-返 回下 页上 页复合支路特点复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。电容、电感，而不能是它们的组合。Zk(Yk)+-+-返 回 复合支路定义了一条支路最多可以包含的不复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下 页上 页注意注意(ZkYk）(ZkYk）+-返 回下 页上 页Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返 回2.2.支路阻抗矩阵形式支路阻抗矩阵形式 电路中电感之间无耦合电路中电感之间无耦合下 页上 页如有如有b条支路，则有条支路，则有：Zk(Yk)+-+-返 回设设Z=diagZ1 Z2Zb支路电流列向量支路电流列向量支路电压列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量电流源的电流列向量下 页上 页阻抗矩阵阻抗矩阵返 回整个电路的整个电路的支路电压、电流关系矩阵：支路电压、电流关系矩阵：b b阶对角阵阶对角阵下 页上 页返 回下 页上 页电路中电感之间有耦合