自动控制理论课件：第二章控制系统的数学模型

1.学习控制系统的分析方法学习控制系统的分析方法经典控制论分析系统的稳定性系统的动态和稳态性能用时域/传递函数分析用频率特性图分析自动控制原理课程的要求自动控制原理课程的要求2.学习控制系统的设计方法：校正学习控制系统的设计方法：校正3.了解现代控制理论的基本观点了解现代控制理论的基本观点状态空间方法最优控制方法4.了解非线性系统的分析方法了解非线性系统的分析方法第二章控制系统的数学模型2.1引言2.2线性系统的微分方程2.3线性系统的传递函数2.4控制系统的结构图2.5信号流图与梅森公式2.1引言一、数学模型的分类1、静态模型（不理会系统内部动态的模型）2、动态模型（外部描述、内部描述）二、建模方法1、实验辨识法2、理论推导法：机理建模三、本章重点：线性定常系统的微分方程和传递函数一、数学模型的分类一、数学模型的分类1、静态模型：在静态条件下（变量各阶导数为零），描述各变量间关系的数学方程。2、动态模型（外部描述、内部描述）在动态条件下（变量各阶导数不为零），描述各变量间关系的数学方程（微分方程或差分方程、状态方程）二、建模方法二、建模方法1、实验辨识法系统辩识法适用于对系统运动机理不清楚、不掌握系统内部规律的情况，是现代控制理论的一个重要分支。2、理论推导法：机理建模（2.2节讲）在清楚系统内部规律的情况下，更多地使用机理建模方法。三、线性定常系统的三、线性定常系统的微分方程和传递函数微分方程和传递函数对于最重要的系统：线性定常系统，最重要的两种模型：微分方程传递函数本书重点围绕以上两种模型，分析连续系统离散系统的重要模型：差分方程传递函数2.2线性系统的微分方程运用微分方程建立数学模型运用微分方程建立数学模型一、为何建模？一、为何建模？二、电路系统二、电路系统三、机械系统三、机械系统四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点一、为何建模？一、为何建模？用数学模型描述控制系统的响应（输用数学模型描述控制系统的响应（输入与输出之间的关系），则可以通过入与输出之间的关系），则可以通过解方程可以得到输出的解析表达式解方程可以得到输出的解析表达式（完全求解），便于系统分析、仿真（完全求解），便于系统分析、仿真和设计。和设计。二、电路系统二、电路系统采用电路的基本定理：基尓霍夫电流电采用电路的基本定理：基尓霍夫电流电压定律，建立描述电路基本要素（电阻压定律，建立描述电路基本要素（电阻电容电感等）之间关系的微分方程电容电感等）之间关系的微分方程例例.如图如图RLC电路系统，求系统的数学模型。电路系统，求系统的数学模型。解：输入量为解：输入量为ui(t)，输出量为，输出量为uo(t)，假设初始，假设初始状态系统储能为状态系统储能为0。应用基尔霍夫定律，有。应用基尔霍夫定律，有uiiLRuoC所得方程为二阶常系数线性微分方程，由此所得方程为二阶常系数线性微分方程，由此可以完全求解电路。可以完全求解电路。消去中间变量消去中间变量i(t)，得到输入量，得到输入量ui(t)和输和输出量为出量为uo(t)之间的关系：之间的关系：采用机械系统的基本定律：牛顿运动定律和力、采用机械系统的基本定律：牛顿运动定律和力、力矩平衡定律，建立描述机械系统的基本要力矩平衡定律，建立描述机械系统的基本要素（质量、弹簧和阻尼器等）之间关系的微素（质量、弹簧和阻尼器等）之间关系的微分方程分方程三、机械系统三、机械系统例例.如图所示，物体质量为如图所示，物体质量为m，弹簧弹性系，弹簧弹性系数数k，阻尼器粘滞阻尼系数为，阻尼器粘滞阻尼系数为c。f(t)为输入，为输入，位移位移y(t)为输出。求系统的数学模型。为输出。求系统的数学模型。解：解：输入量为输入量为f(t)，输出量为位移，输出量为位移y(t)，根据牛根据牛顿第二定理，可以得到运动方程：顿第二定理，可以得到运动方程：整理后得：整理后得：所得方程为二阶常系数线性微分方程，由所得方程为二阶常系数线性微分方程，由此可以完全求解机械系统。此可以完全求解机械系统。小结：机理法建模的一般步骤（1）分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定）分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定系统和各元件的输入、输出量。系统和各元件的输入、输出量。（2）由输入端，依次由物理规律列写各部分方程。）由输入端，依次由物理规律列写各部分方程。（3）消去中间变量，得到描述系统输入、输出变量关）消去中间变量，得到描述系统输入、输出变量关系的数学模型（如微分方程）。系的数学模型（如微分方程）。（4）进行标准化整理（如输入在右，输出在左，降幂）进行标准化整理（如输入在右，输出在左，降幂排列导数等等）。排列导数等等）。由以上例子可以看出由以上例子可以看出1.物理本质不同的系统，其数学模型的推导过物理本质不同的系统，其数学模型的推导过程和数学模型本身非常相似，甚至可以相同。程和数学模型本身非常相似，甚至可以相同。2.数学模型可以整理成为标准形式，其阶次与数学模型可以整理成为标准形式，其阶次与储能元件个数有关，其系数与系统的结构和储能元件个数有关，其系数与系统的结构和参数有关，都对应于确切的物理意义。参数有关，都对应于确切的物理意义。四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点3.一般系统都含有非线性，若所得模型为非线性方程，一般系统都含有非线性，若所得模型为非线性方程，非线性系统一般不能应用迭加原理，数学上处理困难，非线性系统一般不能应用迭加原理，数学上处理困难，为便于理论分析，可以将其在一定条件下线性化，得为便于理论分析，可以将其在一定条件下线性化，得到系统的线性化模型。但是，本质非线性的系统无法到系统的线性化模型。但是，本质非线性的系统无法线性化，则需要运用非线性分析法。线性化，则需要运用非线性分析法。在此特别提醒：线性系统与非线性系统的本质区别在此特别提醒：线性系统与非线性系统的本质区别四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点线性系统与非线性系统：线性系统与非线性系统：线性系统：如果动态系统的各环节输入输出关系都是线性系统：如果动态系统的各环节输入输出关系都是线性的，系统性能可用线性微分方程或线性差分方程线性的，系统性能可用线性微分方程或线性差分方程描述，则该系统称为线性系统。例如，系统描述，则该系统称为线性系统。例如，系统线性系统可应用迭加原理处理输入和输出间关系：线性系统可应用迭加原理处理输入和输出间关系：叠加性和齐次性。如线性电路的全响应等于零输入叠加性和齐次性。如线性电路的全响应等于零输入响应和零状态响应之和。响应和零状态响应之和。叠加原理叠加原理物理系统u(t)y(t)激励响应(1)叠加性：各个激励互不影响叠加性：各个激励互不影响u1(t)+u2(t)y1(t)+y2(t)u1(t)y1(t)u2(t)y2(t)(2)齐次性：保持比例因子齐次性：保持比例因子cu(t)cy(t)非线性系统：动态系统中只要有一个元部件的输入输非线性系统：动态系统中只要有一个元部件的输入输出特性必须用非线性方程描述，系统就无法写为线性出特性必须用非线性方程描述，系统就无法写为线性动态方程，而成为必须用非线性动态方程描述的非线动态方程，而成为必须用非线性动态方程描述的非线性系统。例如性系统。例如非线性系统不适用迭加原理。但对于非线性不很严重非线性系统不适用迭加原理。但对于非线性不很严重的环节，通常可在一定范围内将非线性特性线性化。的环节，通常可在一定范围内将非线性特性线性化。线性化后得到系统的小信号偏差线性化模型，就可采线性化后得到系统的小信号偏差线性化模型，就可采用解线性常微分方程的方式得到系统运动规律。用解线性常微分方程的方式得到系统运动规律。但系统阶数较高时即使求解线性常系数微但系统阶数较高时即使求解线性常系数微分方程工作量也很大，因此人们发展了以分方程工作量也很大，因此人们发展了以线性定常系统为研究对象的频域方法，使线性定常系统为研究对象的频域方法，使得求解线性常系数微分方程的工作转化为得求解线性常系数微分方程的工作转化为求解线性代数方程的工作，求解大为简化。求解线性代数方程的工作，求解大为简化。重点：线性定常系统的微分方程重点：线性定常系统的微分方程四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点 另一重点：线性定常系统的传递函数，另一重点：线性定常系统的传递函数，传递函数概念和传递函数概念和线性定常系统的传递函数模型则是整个频域法的基础。（下节）线性定常系统的传递函数模型则是整个频域法的基础。（下节）回顾：回顾：2.2 线性系统的微分方程线性系统的微分方程运用微分方程建立数学模型运用微分方程建立数学模型一、为何建模？一、为何建模？二、电路系统二、电路系统三、机械系统三、机械系统四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数采用微分方程描述系统：给定初始条件和输入，求采用微分方程描述系统：给定初始条件和输入，求解方程得到全响应。高次方程难以求解。解方程得到全响应。高次方程难以求解。对于线性定常系统，由于满足叠加定理，其输出端对于线性定常系统，由于满足叠加定理，其输出端不会产生新的频率成分，只会保持输入中原有的频不会产生新的频率成分，只会保持输入中原有的频率分量，但幅值和相位都会改变。于是，可以对系率分量，但幅值和相位都会改变。于是，可以对系统的微分方程进行拉氏变换，从而把时域的微分方统的微分方程进行拉氏变换，从而把时域的微分方程变为复频域内的代数方程，方便求解。程变为复频域内的代数方程，方便求解。2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数二、典型环节的传递函数三、一般系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数定义：对于线性定常系统，在零初始条件下，定义：对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。比，称为系统的传递函数。系统的输入在零时刻之后作用于系统系统的输入在零时刻之后作用于系统输入作用于系统前，系统是静止的输入作用于系统前，系统是静止的则传递函数只决定于系统的结构与参数则传递函数只决定于系统的结构与参数在零初始条件下在零初始条件下:n个m个设单输入单输出线性定常系统设单输入单输出线性定常系统:两边求拉氏变换，得两边求拉氏变换，得:记：记：nm上式即为上式即为SISO线性定常系统的传递函数。线性定常系统的传递函数。G(s)X(s)Y(s)Y(s)=G(s)X(s)若已知系统传递函数若已知系统传递函数G(s)和系统输入，则可和系统输入，则可求得求得 s 域的系统输出为域的系统输出为请看请看P16的两个求解传递函数的例子的两个求解传递函数的例子一、线性定常系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数性质：传递函数是复变量s的有理真分式，分子分母多项式的系数为实数，且nm；传递函数与微分方程一一对应，都是系统动态特性的一种数学描述；传递函数反映系统的动态特性而不反映其物理特性，与输入输出信号的形式也没有关系传递函数可以形象地在复平面上描述系统的动态特性：复平面上的零极点分布图传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换。若系统输入为单位脉冲函数，因故即脉冲响应g(t)和传递函数G(s)是拉氏变换对.可知：G(s)仅由系统的结构和参数决定，与输入无关。仅适用于线性定常系统（时变系统可能不存在相应的拉氏变换），仅反映零状态响应。二、典型环节的传递函数二、典型环节的传递函数根据系统的动态特性对传递函数进行分类，得到构成控制系统的最基本的环节六种典型环节。以下介绍六种典型环节的传递函数1.比例环节比例环节传递函数：G(s)=K对应的微分方程：物理系统：电子放大器、电路分压器、变速箱、机械杠杆等等2.惯性环节（一阶）惯性环节（一阶）传递函数：对应的微分方程：物理系统：由运算放大器构成的惯性环节、一阶电路、单容充放气系统等等3.积分环节（一阶）积分环节（一阶）传递