第第1515章章 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式回路矩阵回路矩阵15.2回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15.4首首页页215.2 15.2 回路回路矩阵矩阵 图的矩阵表示是指图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式下 页上 页图的矩阵表示图的矩阵表示回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵返 回3二、回路矩阵二、回路矩阵描述支路与回路的关联性质描述支路与回路的关联性质设一个回路由某些支路组成，则称这些支路设一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该回路关联与该回路关联支路支路2,3,62,3,6与回路与回路I I相关联1、独立回路矩阵：、独立回路矩阵：126345I4 设有向图的独立回路数为设有向图的独立回路数为l，支路数为支路数为b，独立回独立回路数路数l=b-(n-1)独立回路矩阵为独立回路矩阵为(l b)阶矩阵独立回路矩阵用独立回路矩阵用B表示行对应一个回路，列对应支路行对应一个回路，列对应支路其任一元素其任一元素bjk的定义：的定义：bjk=+1，支路支路k与回路与回路j关联且它们的方向一致；关联且它们的方向一致；bjk=-1，支路支路k与回路与回路j关联且它们的方向相反；关联且它们的方向相反；bjk=0，支路支路k与回路与回路j无关联。
无关联B=l b支路支路b独独立立回回路路 l5B=1231 2 3 4 5 6+1+10 01635l=31-1+12632+1+1+10 0 06453+1-1+10 0 012312634562、基本回路矩阵：、基本回路矩阵：如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵称为基本回路矩阵路组，这种回路矩阵称为基本回路矩阵基本回路矩阵用基本回路矩阵用Bf表示写写Bf时，行列的排列有一定的次序：时，行列的排列有一定的次序：将将l条连支依次排列在第条连支依次排列在第1l列将连支排列完，再排列树支将连支排列完，再排列树支取每一单连支回路的回路序号为对应取每一单连支回路的回路序号为对应 连支所在列的序号连支所在列的序号回路的绕行方向为该回路中连支的方向回路的绕行方向为该回路中连支的方向71263451635126326453树支为：树支为：3,5,6连支为：连支为：1,2,48B=1231 2 3 4 5 6+1+10 0-1+1+1+1+10 0 0+1-1+10 0 01 2 4Bf=123+10-1+1+1+10 0-1+10 0+100+1+103 5 691 2 4Bf=123+10-1+1+1+10 0-1+10 0+100+1+103 5 6Bf=1l Bt l阶单位子矩阵阶单位子矩阵 下标下标l和和t分别表示与连支和树支对应的部分。
分别表示与连支和树支对应的部分10146235练习：选取图中的练习：选取图中的树为树为4,5,6，写出，写出图的基本回路矩阵图的基本回路矩阵1 2 3 4 5 6231113、矩阵、矩阵B表示的表示的KVL矩阵形式矩阵形式将电路中将电路中b条支路的支路电压用条支路的支路电压用b阶列向量表示阶列向量表示:若用矩阵若用矩阵B左乘电压列向量，乘积是左乘电压列向量，乘积是l阶列向量阶列向量例例1212634512313回路回路1的的KVL0回路回路2的的KVL0回路回路3的的KVL012634512314用矩阵用矩阵B左乘支路电压列向量，乘积是左乘支路电压列向量，乘积是l阶列向量阶列向量0用矩阵用矩阵B表示的表示的KVL的矩阵形式为：的矩阵形式为：Bu=0154、矩阵、矩阵B表示的表示的KCL矩阵形式矩阵形式 BT仍表示支路与回路的关联仍表示支路与回路的关联BT行对应支路，列对应回路行对应支路，列对应回路12634512316将电路中将电路中b个支路电流用个支路电流用b阶列相量表示阶列相量表示:l个独立回路电流用个独立回路电流用l阶列相量表示阶列相量表示:171263451231812634512312634512319矩阵矩阵B表示的表示的KVL矩阵形式：矩阵形式：矩阵矩阵B表示的表示的KCL矩阵形式：矩阵形式：(支路电流与回路电流的关系支路电流与回路电流的关系)205、用、用Bf表示基尔霍夫定律的矩阵形式表示基尔霍夫定律的矩阵形式KVL矩阵形式：矩阵形式：KCL矩阵形式：矩阵形式：注：列向量注：列向量u和和i中支路电压和电流的排列次序中支路电压和电流的排列次序 必须与必须与Bf中支路的排序相同。
中支路的排序相同21A、Bf矩阵的比较矩阵的比较关联矩阵关联矩阵A回路矩阵回路矩阵Bf电路变量电路变量关联关系关联关系KCLKVL结点电压结点电压un回路电流回路电流il结点与支路结点与支路回路与支路回路与支路结点电压结点电压un结点与支路结点与支路结点与支路结点与支路Ai=02215.4回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式一、回路的基本关系式：一、回路的基本关系式：相量形式相量形式运算形式运算形式23回路电流方程的矩阵形式：回路电流方程的矩阵形式：将支路方程代入将支路方程代入KVL：将将KCL代入：代入：回路电流回路电流il (b-n+1)1阶阶24二、支路约束方程：二、支路约束方程：1、复合支路、复合支路包含一定的电路元件，且按一定的方式连接包含一定的电路元件，且按一定的方式连接其中：下标其中：下标k 第第k条支路条支路 反映元件性质的支路电压和支路反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础法的基础规定标准规定标准支路支路Zk(Yk)+-+-25 独立电压源独立电压源 阻抗（导纳）阻抗（导纳）不能是它们的组合不能是它们的组合。
独立电流源独立电流源=0，无源支路，无源支路Zk(Yk)+-+-26下 页上 页复合支路特点复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；支路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合电容、电感，而不能是它们的组合返 回Zk(Yk)+-+-27注：注：允许一条支路缺少其中的某些元件允许一条支路缺少其中的某些元件不允许存在无伴电流源支路不允许存在无伴电流源支路不允许存在受控电流源支路不允许存在受控电流源支路可以用电路的相量形式或运算形式可以用电路的相量形式或运算形式Zk(Yk)+-+-28 电路中电感之间无耦合电路中电感之间无耦合2、支路方程的矩阵形式、支路方程的矩阵形式 Zk(Yk)+-+-29第第k条支路有：条支路有：如有如有b条支路，则有：条支路，则有：30Z 支路阻抗矩阵，是一个对角阵支路阻抗矩阵，是一个对角阵整个电路的支路电压、电流关系矩阵：整个电路的支路电压、电流关系矩阵：b b阶对角阵阶对角阵31j L4R1R2+_j L3练习：求电路的支路阻抗矩阵练习：求电路的支路阻抗矩阵1234532下 页上 页电路中电感之间有耦合电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返 回33下 页上 页返 回Z不是不是对角阵对角阵34_+_如如1 1支路至支路至g支路间均有互感支路间均有互感35注：注：若两条支路电流分别从同名端流入（出），互感若两条支路电流分别从同名端流入（出），互感电压取电压取“+”，否则取，否则取“-”。
其中其中 互感互感M12=M21 Mjk=Mkj36其余（其余（hb）支路之间无耦合：）支路之间无耦合：37支路的约束方程：支路的约束方程：38支路的约束方程：支路的约束方程：Z 支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵其主对角线元素为各支路阻抗其主对角线元素为各支路阻抗 非对角线元素为相应支路之间的互感阻抗非对角线元素为相应支路之间的互感阻抗不是对角阵不是对角阵39练习：求练习：求Zj L4R1R2+_j L3*M34=M43=M12345M40电路中有受控电压源电路中有受控电压源下 页上 页 Z的非主对角元素将有与受控电压源的控制的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素系数有关的元素Zk(Yk)+-+-+-返 回41受另一条支路无源元件上电压、电流的控制受另一条支路无源元件上电压、电流的控制Zk(Yk)+-+-+-42_+_+Zk(Yk)+-+-+-43CCVS:VCVS:Zk(Yk)+-+-+-44支路的约束方程：支路的约束方程：0 CCVS VCVS45支路的约束方程：支路的约束方程：Z 支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵其主对角线元素为各支路阻抗其主对角线元素为各支路阻抗 当支路当支路k的受控源的控制量在支路的受控源的控制量在支路j时：时：CCVS VCVS46j L4R1R2+_j L3+_01234547三、回路电流方程的矩阵形式：三、回路电流方程的矩阵形式：将支路方程代入将支路方程代入KVL：将将KCL代入：代入：回路电流回路电流il (b-n+1)1阶阶48回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式令：令：def 回路阻抗矩阵。
回路阻抗矩阵则：则：为为l阶的方阵阶的方阵l阶列向量阶列向量l阶列向量阶列向量回路矩阵方程回路矩阵方程回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗其余元素为互阻抗称称 为回路电压源为回路电压源向量向量49Zl的计算（的计算（l 阶方阵）：阶方阵）：电路中无受控源和互感电路中无受控源和互感Zl主对角线元素主对角线元素回路内所有阻抗之和，自阻抗，总为回路内所有阻抗之和，自阻抗，总为“+”Zl非主对角线元素非主对角线元素相邻回路的公共支路上阻抗之和，互阻抗，相邻回路的公共支路上阻抗之和，互阻抗，可可“+”可可“-”两回路电流在公共支路上的电流方向相同两回路电流在公共支路上的电流方向相同为为“+”；否则为；否则为“-”50 电路中包含受控源或者互感电路中包含受控源或者互感Zl不能直接写出不能直接写出四、网孔电流方程的矩阵形式：四、网孔电流方程的矩阵形式：选网孔作为独立回路，列出回路电流法的矩选网孔作为独立回路，列出回路电流法的矩阵形式51从已知网络，写出从已知网络，写出回路分析法的步骤：回路分析法的步骤：求求出出列出回路方程列出回路方程求求出出由由KCL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出下 页上 页小结小结返 回回路电压源向量回路电压源向量52例例15-1 下 页上 页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。
用矩阵形式列出电路的回路电流方程解解做出有向图做出有向图15243121 2 3 4 5 12R2+R11/jC5jL4-jL3返 回53下 页上 页把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式返 回5243121R2+R11/jC5jL4-jL354R5+_R3R1+_R2R4练习练习1：列出回路电流的方程的矩阵形式列出回路电流的方程的矩阵形式12345树树:4,512355R5+_R3R1+_R2R412345123-R4-R4R5R50056把以上各式代入表达式：把以上各式代入表达式：回路电流的方程的矩阵形式：回路电流的方程的矩阵形式：R5+_R3R1+_R2R41234512357练习练习2：用运算形式：用运算形式(零初始条件零初始条件)列出网孔电流方程列出网孔电流方程126345L5R2+_L6R1C4C3*M123选网孔为独立回路选网孔为独立回路58L5R2+_L6R1C4C3*M12634512359L5R2+_L6R1C4C3*M12634512300sMsM0060Zl不能直接写出，不能直接写出，sMsM00061把以上各式代入表达式：把以上各式代入表达式：网孔电流方程的方程的矩阵形式为：网。