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1、 年上半年中小学教师资格考试真题试卷（ 共 页） 年上半年中小学教师资格考试真题试卷（ 共 页） 年上半年中小学教师资格考试真题试卷 数学学科知识与教学能力 （ 初级中学）（ 时间 分钟满分 分）题号一二三四五六总分核分人题分 得分得分评卷人 一、 单项选择题（ 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分） 下列命题不正确的是（ ） 有理数集对于乘法运算封闭 有理数可以比较大小 有理数集是实数集的子集 有理数集是有界集 设 ， 为非零向量， 下列命题正确的是（ ） 垂直于 平行于 平行于 垂直于 设 （ ） 为 ， 上的连续函数，则下列命题不正确的是（ ） （ 常考） （ ） 在 ， 上有最大值
2、（ ） 在 ， 上一致连续 （ ） 在 ， 上可积 （ ） 在 ， 上可导 若矩阵 () 与 ()的秩均为 ， 则线性方程组 ， 解的个数是（ ） （ 常考） 无穷 边长为 的正方体木块， 各面均涂成红色， 将其锯成 个边长为 的小正方体， 并将它们搅匀混在一起， 随机抽取一个小正方体， 恰有两面为红色的概率是（ ） 在空间直角坐标系中， 双曲柱面 与平面 的交为（ ） 椭圆 两条平行线 抛物线 双曲线 下面不属于“ 尺规作图三大问题”的是（ ） （ 常考） 三等分任意角 作一个立方体使之体积等于已知立方体体积的二倍 作一个正方形使之面积等于已知圆的面积 作一个正方形使之面积等于已知正方形面积
3、的二倍 下列函数不属于初中数学课程内容的是（ ） 一次函数 二次函数 指数函数 反比例函数得分评卷人 二、 简答题（ 本大题共 小题， 每小题 分， 共 分） 若 ， 求 () 的逆矩阵。（ 易错） 求二次曲面 过点（ ， ， ） 的切平面的法向量。 设 是 到 的函数， ， 是函数集合， 对 ， 令 （ ）() ， 即 将一个函数变成它的导函数， 证明 是 到 上既单又满的映射。 简述选择初中数学教学方法的依据。 年上半年中小学教师资格考试真题试卷（ 共 页） 年上半年中小学教师资格考试真题试卷（ 共 页） 简述你对 义务教育数学课程标准 （ 年版） 中“ 探索并证明三角形的中位线定理” 这
4、一目标的理解。得分评卷人 三、 解答题（ 本大题 小题， 分） 设 （ ） 是 上的可导函数， 且 （ ） 。（ ） 求 （ ） 的导函数； （ 分）（ ） 已知() （ ） ， 且 （ ） ， 求 （ ） 。（ 分）得分评卷人 四、 论述题（ 本大题 小题， 分） 义务教育数学课程标准 （ 年版） 在教学建议中指出应当处理好“ 面向全体学生与关注学生个体差异的关系” ， 论述数学教学中如何理解和处理这一关系。得分评卷人 五、 案例分析题（ 本大题 小题， 分） 案例： 在有理数运算的课堂教学片段中， 某学生的板演如下： () () () () 。针对该学生的解答， 某教师进行了如下教学：师：
5、 请仔细检查你的演算过程， 看是否正确无误？生： 好像正确吧！师： 对于这个 ()， 你是怎么想的？生： 负 减， 不对， 是负 与负的和， 不对， 哎呀！老师我不会了。问题：（ ） 请指出该生解题中的错误， 并分析产生错误的原因； （ 分）（ ） 针对该生在解题中的错误， 教师呈现如下两道例题， 并板书了解答过程：例题 () ()；例题 () 。请分析例题 、 例题 中每一步运算的依据。（ 分）得分评卷人 六、 教学设计题（ 本大题 小题， 分） 加权平均数可以刻画数据的集中趋势， 义务教育数学课程标准 （ 年版） 要求“ 理解平均数的意义， 能计算中位数、 众数、 加权平均数” ， 请完成
6、下列任务：（ ） 设计一个教学引入片段， 体现学习加权平均数的必要性； （ 分）（ ） 说明加权平均数的“ 权重” 的含义； （ 分）（ ） 设计一道促进学生理解加权平均数的题目， 并说明具体的设计意图。（ 分） 参考答案及解析真题试卷 年上半年中小学教师资格考试真题试卷一、 单项选择题 【 解析】 有理数集是无限集。 【 解析】 由向量的向量积定义， 设向量 由向量 与 按 如 下 方 式 确 定： 向 量 的 模 ， ； 向量 即 的方向同时垂直于 ， ， 且 ， ， 符合右手规则， 则向量 叫作向量 与 的向量积， 记作 ，可知选 。 【 解析】 若函数 （ ） 在 ， 上可导， 则可推
7、知 （ ） 在 ， 上连续， 反之不成立， 故 项错误。由闭区间上连续函数的局部性质知， 若 （ ） 在 ， 上连续， 则 （ ） 在 ， 上有最大值与最小值，故 项正确； 由一致连续性定理知， 有界闭集上任意连续函数都是一致连续函数， 故 项正确； 由定积分存在定理可知， 在 ， 上连续的函数必可积， 故 项正确。 【 解析】 该线性方程组对应的增广矩阵 ()， ( ) ( ) ， 则该方程组有解， 且基础解系的个数为 ( ) ， 则该非齐次线性方程组解的个数是 。 【 解析】 锯成 个边长为 的小正方体后， 涂色的面有以下几种情况： 涂 面的小正方体分别在大正方体的 个顶点处， 共有 个；
8、 涂 面的小正方体分别是大正方体的每条棱的中间的 个， 而大正方体共有 条棱， 那么， 涂 面的小正方体有 个；涂 面的小正方体分别是每个面的中间的 个， 而大正方体共有 个面， 那么，涂 面的小正方体有 个； 个面都没有涂色的小正方体有 个， 则随机抽取一个小正方体， 恰有两面为红色的概率是 。 【 解析】 二维平面内 与 有两个交点， 则在空间直角坐标系中双曲柱面 与平面 的交为两条平行线。 【 解析】 几何作图的三大难题： 三等分任意角问题： 将任一个给定的角三等分。立方倍积问题（ 也叫“ 倍立方问题” ） ： 求作一个正方体的棱长， 使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。化圆为方问
9、题： 求作一正方形， 使其面积和已知圆的面积相等。可知 项错误。 【 解析】 指数函数属于高中数学必修一的内容。二、 简答题 若 ， 求 () 的逆矩阵。【 解析】 令 () ， 由题可知， 该矩阵的行列式 ，又 ()， 则 ()。 求二次曲面 过点（ ， ， ） 的切平面的法向量。【 解析】 令 （ ， ， ） ， 则 ， ，() ， ， ，() ， ， ，() ，则在点（ ， ， ） 处， ， ，() ， ， ，() ， ， ，() ，即二次曲面 过点（ ， ， ） 的切平面的法向量为 （ ， ， ） 。 设 是 到 的函数， ， 是函数集合， 对 ， 令 （ ）() ， 即 将一个函数变
10、成它的导函数， 证明 是 到 上既单又满的映射。【 解析】 先证满射： 由题意， 令 （ ） 槡 () ， （ ）() 槡 () ， 对任意 槡 () ，存 在 槡 () ， 使 得 槡 () 槡 ()， 故 到 上是一个满射。再证单射： 要证 是 到 上的单射， 只需证对于任意的 （ ） ， 有且仅有一个 （ ） 与之对应。显然， 对任意 （ ） （ ） ， 有 （ ） （ ） ，因此 是 到 上的单射。综上可知 到 上既是单射又是满射， 即 是 到 上既单又满的映射。 简述选择初中数学教学方法的依据。【 参考答案】 教学方法是指在教学过程中师生双方为实现一定教学目的， 完成一定教学任务而采
11、取的教与学相互作用的活动方式的总称。选择初中数学教学方法的依据： 课堂教学目标与教学任务； 教材的内容特点； 学生的实际情况；教师自身条件； 教学方法的适用范围和使用条件； 教学时间和效率。此外， 还要考虑教学环境、 教学设备等因素。 简述你对 义务教育数学课程标准 （ 年版）中“ 探索并证明三角形的中位线定理” 这一目标的理解。【 参考答案】 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半。三角形中位线定理不仅指出了三角形中位线与第三边的位置与数量关系， 而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（ 倍分关系） 提供了新的思路， 从而能够提高学生分析问题、 解决问题
12、的能力。另外， 定理的得出是平行四边形判定定理和性质定理的直接应用， 它在图形证明和计算中有广泛的应用。因此， 对这一学习目标的理解是学生应了解三角形中位线的概念， 掌握三角形中位线定理的证明， 并在证明过程中体会归纳、 类比、 转化等数学思想方法； 经历探索三角形中位线定理的过程，理解其与平行四边形的内在联系， 感悟几何学的推理论证方法， 体会证明的必要性和证明方法的多样性； 经历推理、 猜想、 论证等过程培养推理论证能力。三、 解答题 【 解析】 （ ） 因为 （ ） 是 上的可导函数， 且 （ ） ， 则 由 复 合 函 数 的 求 导 方 法 得 () () ()。（ ）() （ ）
13、() ()() () ， 两边分别对 进行积分， 得 （ ） （ ） ， 可得 () ，又 （ ） ， 则 () ，故 () ， （ ） 。四、 论述题 【 参考答案】 教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求， 同时要关注学生的个体差异， 促进每个学生在原有基础上的发展。对于学习有困难的学生， 教师要给予及时的关注与帮助， 鼓励他们主动参与数学学习活动， 并尝试用自己的方式解决问题、 发表自己的看法；要及时地肯定他们的点滴进步， 耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因， 并鼓励他们自己去改正， 从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生， 教师要为他们提供足够的材料
14、和思维空间， 指导他们阅读， 发展他们的数学才能。在教学活动中， 要鼓励与提倡解决问题策略的多样化， 恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平。问题情境的设计、 教学过程的展开、 练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与， 提出各自解决问题的策略。引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验， 提高思维水平。五、 案例分析题 【 参 考 答 案】（ ）学 生 在 计 算 过 程 中 错 把 ()算成了 ， 应该是 。出现这样的错误， 有以下几个原因： 学习有理数特别是负数时， 没有完全理解正数和负数的概念， 没能将正数、 负数和相反数这些概念联系起来。学生对于符号的认识
15、和理解不够全面， 比如负号，除了当作减号进行运算外， 还可以表示负号， 相当于一个数的相反数。由学生的回答可以看出学生对于负数的运算法则和运算律掌握不扎实， 在老师询问时出现了混淆的情况。教师本身在教学过程中也存在一些问题， 在新课讲解过程中， 对学生的预设不足， 针对学生难以理解的知识点， 没有进行更加细致和通俗的讲解。（ ） 例 是有理数的减法， 第一步是利用有理数减法法则， 减去一个数等于加上这个数的相反数， 转化为加法， 第二步是同号有理数加法， 取相同的符号， 然后把绝对值相加。题中是提取出了负号， 放在括号外面， 把 和 的绝对值相加。例 也是有理数的减法， 不过与例 不同的是第二
16、个数不同。第一步利用有理数的减法法则， 减去一个数等于加上这个数的相反数， 转化为加法， 得到 ()， 而这个式子需要利用有理数的加法， 与例 不同的是这个式子为两个异号的有理数相加， 因为 和绝对值不等，取绝对值较大数的符号， 即负号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 即 ()， 从而得到结果。六、 教学设计题 【 参考答案】 （ ） 利用多媒体出示一则招聘启事：我公司招聘一名员工， 平均工资 元。李刚前去应聘， 结果发现工资没有 元， 去找老板咨询， 老板给李刚看工资表：经理： 元会计： 元厨师 ： 元厨师 ： 元杂工 ： 元杂工 ： 元服务员 ： 元 服务员 ： 元 服务员 ： 元引导学生思考： 招工启事中说月工资 元是否欺骗了应聘者？这个平均工资能否客观地反映工人的一般收入？若不能， 你认为用什么工资反映普通工人的一般收入比较合适？（ ） 权重反映了各个数据在该组数据中所占有的不同重要性： 权数越大的数据越重要。在计算加权平均数时， 权重可以表示总体中的各种成分所占比例： 权重越大的数据在总体中所占的比例越大， 它对加权平均数的影响也越大。（ ） 某单位欲从内部招聘管理员一
