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1、全国攻读博士学位研究生入学考试试题1南昌大学 2017 年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：数值分析考试科目：数值分析考试时间：考试时间：月月日日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！ ）一、求满足条件的埃尔米特（Hermite）插值多项式.二、求在区间 1 , 0上，关于权函数( )W xx正交的多项式)(),(),(210 xgxgxg。解：设0( )1gx ，1( )g xxa22( )gxxbxc则由101 ()0 xxa dx得2230,-535aa由120()0 x xbxc
2、dx得2220753bc由1203( - )()05x xxbxc dx得168035 925 7b从而可得3105-,-,5921abc故20123105( )1,( )-,( )-5921gxg xxgxxx三.给定经验数据试用形如bxaey （ba,为常数0a）的经验公式来拟合。解解对bxaey 两边取对数有lnlnyabx， 作变换lnYy，lnAa， 则有YAbx，01，1x，( )1x， 为了求出A，b， 将数据( ,)iix y转化为( ,)iix Y， 从而有11( ,)(1.00,1.629)x Y，22(,)(1.25,1.756)x Y，33(,)(1.50,1.876)
3、x Y44(,)(1.75,2.008)x Y，55(,)(2.00,2.135)x Y，由最小二乘法写出法方程组，由于5001,15i ，5011,7.5iix ，52111,11.875iix ，501,9.404iiYY，5111,14.422iiYxY，故法方程组为：57.59.4047.511.87514.422AbAb解得1.122A ，0.5056b ，3.071Aae，因此最小二乘拟合曲线为ix12iy23iy1-1ix1.001.251.501.752.00iy5.105.796.537.458.46全国攻读博士学位研究生入学考试试题20.5056*3.071( )xyex四
4、、试证函数系0( ),( ),nxxLL中函数01( ),( ),( )nxxxL线性无关的充要条件为 Gram矩阵0001010111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnG LLLLLLL非奇异，即1det0nG。证明证明对函数组01,n ， 若有00110nnccc， 则01,n 线性无关的充要条件为010nccc.必要性：假设1det0nG，则线性代数方程组10nGC存在非零解向量，记之为01(,)TnCc cc，从而有01101(,)(,)0Tnnnc cc Gc cc即有10(,)0nniiiiiicc由内积性质（1）可知00niiic。这与01
5、,n 线性无关相矛盾。故1det0nG。充分性若01,n 线性相关，则存在不全为零的数01,nc cc，使得00110nnccc用( )jx与上式进行内积(0,1,2, )jnL则有00(,)0nnjiiiic即0(,)0njiiic (0,1,2, )jnL故01,nc cc是线性代数方程组10nGx的非零解。从而齐次线性代数方程组有非零解的充要条件为1det()0nG，这与1det0nG相矛盾，故假设不成立。五、试证明勒让德多项式系( )npx在区间 1,1上关于权函数( )1x是正交多项式系，即对任意( )( )kjpxpx和，有110 kj( )( )2 21kjpx px dxkjk
6、成立。证明证明不妨设kj，当 kj 时，按分部积分法有112( )2( )2(1)2(1)11(1) (1) (1) (1) .kkjjkkjjxxdxxxdx 112()2(2 )2()11( 1)(1) (1) ( 1) (2 )!(1) jkkjjjjkkjxxdxjxdx 112()2(1)1-1( 1) (2 )!(1) ( 1) (2 )!(1) 0jkkjjkkjjxdxjx 当 k=j 时，由于全国攻读博士学位研究生入学考试试题312()212120(x1) (x1) sin )(2 )!2( 1) cos2( 1)(21)!kkjkkkkdxdxxtktdtk1-1令 （从而
7、可见 kj 时有12( )2( )111( ),( )(x1) (x1) 02! 2!kkjjkjkjpxpxdxkj 1-1而 k=j 有21(2 )!2( ),( )( 1)(2 )!2( 1)(2!)(21)!21kkkkkkpxpxkkkk 。全国攻读博士学位研究生入学考试试题4南昌大学 2016 年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：数值分析考试科目：数值分析考试时间：考试时间：月月日日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！ ）-一、一、写出5n 时 Lagrange 插值基函数2
8、( )l x的表达式；解：0134522021232425()()()()()( )()()()()()xxxxxxxxxxl xxxxxxxxxxx二二、设)(f x的函数值及导数值为：312110)(f,)( f,)( f，试求次数不超过 2 的插值多项式。解：因为若)(xf在,ba上有三阶连续导数，已知)(xf在,ba上两个互异点10,xx上的函数值)(0 xf，)(1xf和一阶导数值1()fx，则次数不超过二次的插值多项式为2010011201122010110()(2)()()()( )()()()()()xxxxxxxxxxxL xf xf xfxxxxxxx并且插值余项为2011
9、( )()()( ),( , )6R xxxxxfa b 所以本题的插值多项式为222( )(1)2 (2)3 (1)12L xxx xx xxx 三、三、x的插值二次式)(xp2，使得15225p13,169p11121222)()(,)(p，计算145的近似值。解：0(169)(225)1( )(169)(225)(121 169)(121 225)4992xxlxxx1(121)(225)1( )(121)(225)(169 121)(169225)2688xxl xxx 2(121)(169)1( )(121)(169)(225 121)(225 169)5824xxlxxx插值多项式
10、为2111315( )(169)(225)(121)(225)(121)(169)499226885824L xxxxxxx故145的近似值为2111315(145)(145 169)(145225)(145 121)(145225)(14 5 121)(145 169)499226885824L2112024960864012.032967499226885824四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线2210)(xaxaaxyk1 12 23 34 45 5kx-2-2-1-10 01 12 2全国攻读博士学位研究生入学考试试题5ky10101 10 02 29 9解：取( )1x，0
11、( )1x，1( ) xx，22( ) xx，22012( )pxaa xa x，由于5115i，510iix，52110iix，5310iix，54134iix，5122iiy，511iiix y ，52179iiix y，从而可得法方程组为012501022010011003479aaa 解次方程组可得00.6a 10.1a 22.5a 故所求二次拟和合曲线为20.60.12.5yxx 。五、设nxxxx,210 是互不相同的节点，)(xli是插值基函数，求证：对任何 k=0,1,2,n 下式成立：（1）kinikixxlx)(0（2）0)()(0 xlxxiniki证明：(1) 令( )
12、kf xx（0,1,2,kn） ， 则( )f x的 Lagrange 插值多项式为00( )( ) ( )( )nnkiiiiiiLn xl x f xl x x其中( ) (0,1,2, )il xin 为 Lagrange 插值基函数。插值余项为(1)11( )( )-( )( )( )(1)!nnRn xf xLn xfxn 其中( )()ixxx nn+1i=0，在01,nx xx之间.由于( )kf xx(0,1,2, )kn故(1)( )0nfx，从而( )0nR x ,即( )( )nf xL x), 故( )(0,1,2, )0nkkl x xxkniii (2) 根据二项式
13、展开定理有：00000(- )( )() ( )()( )nnkknknjkjnkjjiijiijiiiijjixx l xC xxl xCxx l x ( 1)nkjkjjjiCxxknij=0i=0=l(x)(由(1)结论可得)00( 1)( 1)knnkjkjjnkjkjjjjCxxCx0( 1)(1-1)0nknkjkkjjxCx六、 证明：若,1)(xaxf则( )f x在节点01,nx xx处的 n 阶差商为全国攻读博士学位研究生入学考试试题6012011,()()()nnf x x xxaxaxax证明：当 n=1 时，有01011001()()1,()()f xf xf x x
14、xxaxax结论成立，假设当 n=k-1 时成立，对 n=k 有0121120120, ,nnnnf x x xxf x xxf x x xxxx001112111() ()()()()()()nnnxxaxaxaxaxaxax1100111()()() ()()nnnaxaxxxaxax011()()()naxaxax所以对任何 n 上式都成立，证毕。七、已知函数 xfy 的数据如下： 122, 31, 20fff， 1475 f（1）求 xfy 的三次 Lagrange 插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。（2）如果再增加一个节点 31f ，试利用（1）的结果，来求
15、在新的条件下， xfy 的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。解： （1）Lagrange 插值多项式：320(1)(2)(5)11( )(1)(2)(5)(81710)(0 1)(02)(05)1010 xxxlxxxxxxx 321(2)(5)11( )(2)(5)(710 )(1 0)(1 2)(1 5)44x xxl xx xxxxx322(1)(5)11( )(1)(5)(65 )(20)(2 1)(25)66x xxlxx xxxxx 323(1)(2)11( )(1)(2)(32 )(50)(5 1)(52)6060 x xxl xx xxxxx33201230( )
16、( ) ( )2 ( )3 ( ) 12 ( ) 147 ( )2iiiLn xl x f xlxl xlxl xxxx牛顿差商表：xy一阶差商二阶差商三阶差商0213121294514745913-17429103牛顿差值多项式为：23( )2 14(1) 1(1)(2)2nNxxx xx xxxxx 截断误差为：全国攻读博士学位研究生入学考试试题7(4)( ) (1)(2)(5)fx xxx1 Rn(x)=4！(0,5)（2）牛顿差值多项式为：( )2 14(1) 1(1)(2)3(1)(2)(5)nNxxx xx xxx xxx 23422852233xxxx截断误差为：(5)( ) (1)(2)(3)(5)fx xxxx1 Rn(x)=5！(0,5)八、若)(xf在,ba上有三阶连续导数，已知)(xf在,ba上两个互异点10,xx上的函数值)(0 xf，)(1xf和一阶导数值)(0 xf ，试用插值方法导出)(xf的表达式为)()()()()()()()()2)()(120120001100201101xRxfxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxf其 中),(),()(
