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1、习题及解答（全）习题一d r d r1-1 I Ar I与/r有无不同？位 和d/有无不同?举例说明.d v d vd/和 d t有无不同?其不同在哪里?试解：（1）1AH是位移的模，A r是位矢的模的增量，即=上一。|,4,=同一同.d r（2）d/是速度的模,d r d s即 d/=H =dt.d r山 只是速度在径向上的分量.有r =M（式中另叫做单位矢）,d r式 中 出 就是速度径向上的分量，d r d r.d t d f不同如题i-i图所示.d r d r .d r=r+r IJ IIJ dt d z dt隹|5|=M曳（3）忖”表示加速度的模，即 1由1,由 是加速度。在切向上的
2、分量.有v =表轨道节线方向单位矢），所以d v d u _ d r=r+vdt dt dtdv式 中d t就是加速度的切向分量.d r d f 与（山 d t的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）1-2设质点的运动方程为X=X（Q,y=y（o,在计算质点的速度和加速度时，有人先求,dr d2r出然后根据旷=山，及a=d 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 产=幻+0，_ d rd td r-d y -=1+Jd t d t_ d2ra =,=d z
3、2d2xv d、d/2 d t2d r d-rv =一 a=d/d r 2d r d2r d rJEJ-其二，可能是将由 d/误作速度与加速度的模。在 1-1题中已说明d t不是速度的模，d2r而只是速度在径向上的分量，同样，山？也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中d2r径Qf 亩）的一部分L ,。或者概括性地说，前二种方法只考虑了位矢尸在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢7 及速度日的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在X 0 V 平面上运动，运动方程为%=3 7+5,y =2 f2+3t-4.式 中/以 s 计，X,y以1n 计.（1）以时间/为变量，
4、写出质点位置矢量的表示式；（2）求出f=1s时刻和，=2s时刻的位置矢量，计算这1 秒内质点的位移；（3）计算/=0 s 时刻到/=4s时刻内的平均速度；求出质点速度矢量表示式，计算，=4 s时质点的速度；（5）计算,=0 s至*=4 s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4 s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、直角坐标系中的矢量式）.r =（3/解：（1）（2）将/=1,/=2 代入上式即有L（3）V =Ar iV=-Arv =3 7+（/+3）J m（4）由平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成+5)/+(-/2+3/-4)；2 m月=8 7-0.5
5、；m5=1 1 7+mv=5 一元=3 j +4.5；m=5；-4；,rt=17F +16；r0 12/+2 0 J-i-=-=3 z +5/m-s4-0 4s-1则 v4=3/+77 m-s-1v0=3 f +3*4 =3 7+7j-Av v4-v0 4-a=-=1 /t 4 4m-s(6)d v 一5=1 /m-s 2dt这说明该点只有N 方向的加速度，且为恒量。1-4 在 离 水 面 高 h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船 在 离 岸 S 处，如 题 1-4 图所 示.当 人以 (m的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.图 1-4解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成e
6、角，由图可知I2=h2+s2将上式 对 时 间/求 导，得根据速度的定义，并注意到/,S 是 随，减少的，d/d v 纯=一 不=%船=一 大at atds 1 d/1 v0即,船一 d/一 Zd/s%c o s。或/v。(一+一严%船 一 s 一 s2-21-5 质 点 沿 轴 运 动，其 加 速 度 和 位 置 的 关 系 为 a=2+6 X 。的单位为m-s x 的单位将丫船再对，求 导，即得船的加速度/_ 心八d v船 dt d/+船、,=2 Vo =2%d/s s(-S +)%2 2_ _ _ _ _ _ _ S _ 一 2 一 3s s为m.质点在=0处，速度为1 0 m-s，试求
7、质点在任何坐标处的速度值.dv dv dr dva=-=v解：d/dr d/dr分闵变量.udv=adx=（2+6x2）dxv2=2x+2x3+c两边积分得 2由题知，x=0时，T ,.”=50 v=2-x/x3+x+25 m-s-11-6已知一质点作直线运动，其加速度为。=4+3/开始运动时，x=5m,求该质点在/=10s时的速度和位置.解：分离变量，得积分，得由题知，=0,%=,.G=a=dv =4.+o3/d/dv=(4+3/)d/4 3 2v=4r+r+G2 1故又因为,3 2v=4/+-Z2v=dr =4./+-3/2d/23,dr=（41+一 厂）d/分离变量，2积分得由题知/=0
8、,/=5,.0?=5c 2 1 3x=2t-+-z +c2故所以,=10s时x=2t2+-Z3+523,.vl0=4 x l0 +-x l02=190 m-s-1匹 0=2x102+1 1（）3 +5=705 m10 21-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动，运动方程为 8=2+3，9式中以弧度计，以秒计，求：（1）t=2 s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少？解：=2 s时,aT=R/3=lxl8x2=36msan=R(o2=lx(9 x 22)2=1 2 9 6 m s-2t a n 4 5 =1（2）当加速度方向与半径成4 5 角时，有 4即
9、 二珅 亦即（9/）2 =1 8/2 2，=2 +3/=2 +3 x=2.6 7 r a d则解得 9 于是角位移为 91 L 2v/bt1-8质点沿半径为R的圆周按5=2 的规律运动，式中S为质点离圆周上某点的弧长，,6都是常量，求：（1 时刻质点的加速度；（2）/为何值时，加速度在数值上等于M解：则加速度与半径的夹角为（2）由题意应有即d sdtv2(%一4产R 一R,(VQ-)4R2(p=a r c t a n aT=4一Rb(%-4)2b=b2+。火”,=(v0-6/)4 =0=%一 从.当 6 时，a =61-9半径为R的轮子，以匀速“。沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点8的运
10、动方程为x=R（初一 sinf）,y=R（l-c o s创），式中=%/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为N轴正方向；（2）求B点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知SCr,yJ、火/，/口、.图-911题nD.e o x =匕/一 2R s in c o s 2 2=v0/一 A s in。=R(ot-Rsincot)y =2 7?s in s in2 2=火(1 一 C OS 8)=7?(1 -C OS 6 9/)(2)vx=R a)(-c o s 6 9/)s m c o t =-*d/Vc，dVVav=R e
11、o c o s c o t =-，d r1-1 0 以初速度=2 o m-s-i抛出一小球，抛出方向与水平面成幄6 0。的夹角,求：(1)球轨道最高点的曲率半径曷；(2)落地处的曲率半径火 2.(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-1 0 图所示.题 1-1 0 图(1)在最高点，%=叭=vo c o s 6 0=g =1 0 m s-2v,2 _ (2 0 x c o s 6 0 0)2io=1 0 m1-1 1 飞轮半径为0.4 m,自静止启动，其角加速度为=0.2 r a d S-2,求，=2 s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度
12、.解：当，=2 s 时，0=加=0.2 x 2 =0.4 r a d -s T(2)在落地点，v2 =vo =2 0 m.s 而。，=g x c o s 6 0 0=五=(2。了=80man2 1 0 x c o s 6 0 则 v =R e o=0.4 x 0.4 =0.1 6 m 4=R 3?=0.4 x(0.4)2 =0 0 6 4 m.s-2aT=R p=0.4 x 0.2 =0.0 8 m.s-2a=小a；+片=V(0.0 6 4)2+(0.0 8)2=0.1 0 2 m-s-21-1 2 如 题 1-12图，物体Z 以相对8 的速度丫 =J 拓沿斜面滑动，V 为纵坐标，开始时幺在斜
13、面顶端高为处，8物体以“匀速向右运动，求“物滑到地面时的速度.解：当滑至斜面底时，y =h,则 崂=J 荻，A物运动过程中又受到B的牵连运动影响,因此，力对地的速度为1-13 一船以速率4=3 0 k m-h 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率匕=40kmh 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇，则有%1=弓 一 E,依题意作速度矢量图如题1-13图(a)0=a rc t a n =a rc t a n =3 6.8 7 方向北偏西 匕 4(2)小船看大船，则有弓2=/1-5，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法，得vn=5 0
14、 k m h-1方向南偏东3 6.8 7 1-1 4 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m 求轮船的速率.解：依题意作出矢量图如题1 T 4 所示.。船地题 1-14图由图中比例关系可知V南=U雨 船+U船U船=丫 雨=8m-s”习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为犯的物体，另一边穿在质量为阴2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 下滑，求加I,他2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦
15、力（绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计）.解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为q,其对于加2则为牵连加速度，又知加2对绳子的相对加速度为，故根2对地加速度，由图（b）可知，为a2 a a，又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力7,由牛顿定律，有mg-T =ma T-m2g=m2a2 联立、式，得_ 一加2）g +加2 Q =-mx+m2ci 2 =mx+加2/=.=?M（2 g ）+m2讨 论（1）若 储=0,则卬=%表示柱体与绳之间无相对滑动.（2）若“=2g,则T =/=,表示柱体与绳之间无任何作用力，此时加I,机2均作自由落体运动.(a)(b)
16、题2-1图2-2 一个质量为p的质点，在光滑的固定斜面（倾角为a ）上以初速度也运动，的方向与 斜 面 底 边 的 水 平 线 平 行，如图所示，求这质点的运动轨道.解：物体置于斜面上受到重力机g，斜面支持力N.建立坐标：取。方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.ABm g题2-2图X方向：工=x=v y 方向：Fy=m gsm am ay/=0时 夕=匕,=1 .2y=gsmat由、式 消 去 得1 2y=-g si n c r%2%2-3质量为16 kg的质点在工神平面内运动，受一恒力作用，力的分量为=6 N,3=于是质点在2 s时的速度-7 N,当，=0 忖，x=y=o,匕=2 m 1 sH,vy=o.求当，=2 s时质点的(1)位矢；(2)速度.解：%=4=m6163=-m -s-28(1)_ f yav _ _m 7 _2m-s16匕=匕。+faxdt=-2 +-x 2 =-85 m-s4匕，=。+faydt=-T-?7x 2,87 m s-1=(-2 x2 +-1 x(3x 4)-;+-1(-7 )x4-；2 o 2 1613,7；=-1 1 m4 82-4
