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1、习题及解答(全)习题一d r d r1-1 I Ar I与/r有无不同?位 和d/有无不同?举例说明.d v d vd/和 d t有无不同?其不同在哪里?试解:(1)1AH是位移的模,A r是位矢的模的增量,即=上一。|,4,=同一同.d r(2)d/是速度的模,d r d s即 d/=H =dt.d r山 只是速度在径向上的分量.有r =M(式中另叫做单位矢),d r式 中 出 就是速度径向上的分量,d r d r.d t d f不同如题i-i图所示.d r d r .d r=r+r IJ IIJ dt d z dt隹|5|=M曳(3)忖”表示加速度的模,即 1由1,由 是加速度。在切向上的
2、分量.有v =表轨道节线方向单位矢),所以d v d u _ d r=r+vdt dt dtdv式 中d t就是加速度的切向分量.d r d f 与(山 d t的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)1-2设质点的运动方程为X=X(Q,y=y(o,在计算质点的速度和加速度时,有人先求,dr d2r出然后根据旷=山,及a=d 而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有 产=幻+0,_ d rd td r-d y -=1+Jd t d t_ d2ra =,=d z
3、2d2xv d、d/2 d t2d r d-rv =一 a=d/d r 2d r d2r d rJEJ-其二,可能是将由 d/误作速度与加速度的模。在 1-1题中已说明d t不是速度的模,d2r而只是速度在径向上的分量,同样,山?也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中d2r径Qf 亩)的一部分L ,。或者概括性地说,前二种方法只考虑了位矢尸在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢7 及速度日的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在X 0 V 平面上运动,运动方程为%=3 7+5,y =2 f2+3t-4.式 中/以 s 计,X,y以1n 计.(1)以时间/为变量,
4、写出质点位置矢量的表示式;(2)求出f=1s时刻和,=2s时刻的位置矢量,计算这1 秒内质点的位移;(3)计算/=0 s 时刻到/=4s时刻内的平均速度;求出质点速度矢量表示式,计算,=4 s时质点的速度;(5)计算,=0 s至*=4 s内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算,=4 s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、直角坐标系中的矢量式).r =(3/解:(1)(2)将/=1,/=2 代入上式即有L(3)V =Ar iV=-Arv =3 7+(/+3)J m(4)由平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成+5)/+(-/2+3/-4);2 m月=8 7-0.5
5、;m5=1 1 7+mv=5 一元=3 j +4.5;m=5;-4;,rt=17F +16;r0 12/+2 0 J-i-=-=3 z +5/m-s4-0 4s-1则 v4=3/+77 m-s-1v0=3 f +3*4 =3 7+7j-Av v4-v0 4-a=-=1 /t 4 4m-s(6)d v 一5=1 /m-s 2dt这说明该点只有N 方向的加速度,且为恒量。1-4 在 离 水 面 高 h 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船 在 离 岸 S 处,如 题 1-4 图所 示.当 人以 (m的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.图 1-4解:设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成e
6、角,由图可知I2=h2+s2将上式 对 时 间/求 导,得根据速度的定义,并注意到/,S 是 随,减少的,d/d v 纯=一 不=%船=一 大at atds 1 d/1 v0即,船一 d/一 Zd/s%c o s。或/v。(一+一严%船 一 s 一 s2-21-5 质 点 沿 轴 运 动,其 加 速 度 和 位 置 的 关 系 为 a=2+6 X 。的单位为m-s x 的单位将丫船再对,求 导,即得船的加速度/_ 心八d v船 dt d/+船、,=2 Vo =2%d/s s(-S +)%2 2_ _ _ _ _ _ _ S _ 一 2 一 3s s为m.质点在=0处,速度为1 0 m-s,试求
7、质点在任何坐标处的速度值.dv dv dr dva=-=v解:d/dr d/dr分闵变量.udv=adx=(2+6x2)dxv2=2x+2x3+c两边积分得 2由题知,x=0时,T ,.”=50 v=2-x/x3+x+25 m-s-11-6已知一质点作直线运动,其加速度为。=4+3/开始运动时,x=5m,求该质点在/=10s时的速度和位置.解:分离变量,得积分,得由题知,=0,%=,.G=a=dv =4.+o3/d/dv=(4+3/)d/4 3 2v=4r+r+G2 1故又因为,3 2v=4/+-Z2v=dr =4./+-3/2d/23,dr=(41+一 厂)d/分离变量,2积分得由题知/=0
8、,/=5,.0?=5c 2 1 3x=2t-+-z +c2故所以,=10s时x=2t2+-Z3+523,.vl0=4 x l0 +-x l02=190 m-s-1匹 0=2x102+1 1()3 +5=705 m10 21-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动,运动方程为 8=2+3,9式中以弧度计,以秒计,求:(1)t=2 s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45角时,其角位移是多少?解:=2 s时,aT=R/3=lxl8x2=36msan=R(o2=lx(9 x 22)2=1 2 9 6 m s-2t a n 4 5 =1(2)当加速度方向与半径成4 5 角时,有 4即
9、 二珅 亦即(9/)2 =1 8/2 2,=2 +3/=2 +3 x=2.6 7 r a d则解得 9 于是角位移为 91 L 2v/bt1-8质点沿半径为R的圆周按5=2 的规律运动,式中S为质点离圆周上某点的弧长,,6都是常量,求:(1 时刻质点的加速度;(2)/为何值时,加速度在数值上等于M解:则加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即d sdtv2(%一4产R 一R,(VQ-)4R2(p=a r c t a n aT=4一Rb(%-4)2b=b2+。火”,=(v0-6/)4 =0=%一 从.当 6 时,a =61-9半径为R的轮子,以匀速“。沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘上任意点8的运
10、动方程为x=R(初一 sinf),y=R(l-c o s创),式中=%/R是轮子滚动的角速度,当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点,轮子前进方向为N轴正方向;(2)求B点速度和加速度的分量表示式.解:依题意作出下图,由图可知SCr,yJ、火/,/口、.图-911题nD.e o x =匕/一 2R s in c o s 2 2=v0/一 A s in。=R(ot-Rsincot)y =2 7?s in s in2 2=火(1 一 C OS 8)=7?(1 -C OS 6 9/)(2)vx=R a)(-c o s 6 9/)s m c o t =-*d/Vc,dVVav=R e
11、o c o s c o t =-,d r1-1 0 以初速度=2 o m-s-i抛出一小球,抛出方向与水平面成幄6 0。的夹角,求:(1)球轨道最高点的曲率半径曷;(2)落地处的曲率半径火 2.(提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解:设小球所作抛物线轨道如题1-1 0 图所示.题 1-1 0 图(1)在最高点,%=叭=vo c o s 6 0=g =1 0 m s-2v,2 _ (2 0 x c o s 6 0 0)2io=1 0 m1-1 1 飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为=0.2 r a d S-2,求,=2 s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度
12、.解:当,=2 s 时,0=加=0.2 x 2 =0.4 r a d -s T(2)在落地点,v2 =vo =2 0 m.s 而。,=g x c o s 6 0 0=五=(2。了=80man2 1 0 x c o s 6 0 则 v =R e o=0.4 x 0.4 =0.1 6 m 4=R 3?=0.4 x(0.4)2 =0 0 6 4 m.s-2aT=R p=0.4 x 0.2 =0.0 8 m.s-2a=小a;+片=V(0.0 6 4)2+(0.0 8)2=0.1 0 2 m-s-21-1 2 如 题 1-12图,物体Z 以相对8 的速度丫 =J 拓沿斜面滑动,V 为纵坐标,开始时幺在斜
13、面顶端高为处,8物体以“匀速向右运动,求“物滑到地面时的速度.解:当滑至斜面底时,y =h,则 崂=J 荻,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响,因此,力对地的速度为1-13 一船以速率4=3 0 k m-h 沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速率匕=40kmh 沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解:(1)大船看小艇,则有%1=弓 一 E,依题意作速度矢量图如题1-13图(a)0=a rc t a n =a rc t a n =3 6.8 7 方向北偏西 匕 4(2)小船看大船,则有弓2=/1-5,依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法,得vn=5 0
14、 k m h-1方向南偏东3 6.8 7 1-1 4 当一轮船在雨中航行时,它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上,篷高4 m 但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m 求轮船的速率.解:依题意作出矢量图如题1 T 4 所示.。船地题 1-14图由图中比例关系可知V南=U雨 船+U船U船=丫 雨=8m-s”习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮,绳的一边悬有一质量为犯的物体,另一边穿在质量为阴2的圆柱体的竖直细孔中,圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升,柱体相对于绳子以匀加速度 下滑,求加I,他2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦
15、力(绳轻且不可伸长,滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计).解:因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为q,其对于加2则为牵连加速度,又知加2对绳子的相对加速度为,故根2对地加速度,由图(b)可知,为a2 a a,又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力7,由牛顿定律,有mg-T =ma T-m2g=m2a2 联立、式,得_ 一加2)g +加2 Q =-mx+m2ci 2 =mx+加2/=.=?M(2 g )+m2讨 论(1)若 储=0,则卬=%表示柱体与绳之间无相对滑动.(2)若“=2g,则T =/=,表示柱体与绳之间无任何作用力,此时加I,机2均作自由落体运动.(a)(b)
16、题2-1图2-2 一个质量为p的质点,在光滑的固定斜面(倾角为a )上以初速度也运动,的方向与 斜 面 底 边 的 水 平 线 平 行,如图所示,求这质点的运动轨道.解:物体置于斜面上受到重力机g,斜面支持力N.建立坐标:取。方向为X轴,平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.ABm g题2-2图X方向:工=x=v y 方向:Fy=m gsm am ay/=0时 夕=匕,=1 .2y=gsmat由、式 消 去 得1 2y=-g si n c r%2%2-3质量为16 kg的质点在工神平面内运动,受一恒力作用,力的分量为=6 N,3=于是质点在2 s时的速度-7 N,当,=0 忖,x=y=o,匕=2 m 1 sH,vy=o.求当,=2 s时质点的(1)位矢;(2)速度.解:%=4=m6163=-m -s-28(1)_ f yav _ _m 7 _2m-s16匕=匕。+faxdt=-2 +-x 2 =-85 m-s4匕,=。+faydt=-T-?7x 2,87 m s-1=(-2 x2 +-1 x(3x 4)-;+-1(-7 )x4-;2 o 2 1613,7;=-1 1 m4 82-4