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1、概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章概率论的基本概念1 .设事件及AU 8的 概 率 分 别 为 及r ,试求P(A B),P(A B),P(A B)及 P(A B)2 .若A,5,C相互独立，试证明：瓦瓦亦必相互独立。3 .试验E为 掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以区,/)记之，其 中 为 分 别 表 示 第 一 颗、第 二 颗 骰 子 的 点 数。设 事 件A =(xl,x2)l x1+x2=1 0 ,事件3 =区,2)5 x2.试求P(B I A)和P(A I B)4 .某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问(1)恰好第三次打开房门锁的概率？(2)三次内打
2、开的概率？(3)皮果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5 .设有甲、乙两袋，甲袋中装有个白球、加个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6.在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于3 0秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7.甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小 时 和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为
3、0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。试求下列事件的概率：(1)仓库发生意外时能及时发出警报;(2)乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9.设A,8为两随机变量，试求解下列问题：(1)已知 P(A)=P(B)=1/3,P(A 13)=1/6。求：P(A I B)；(2)已知 P(A)=1/4,P(BI A)=l/3,P(AI8)=l/2。求:P(A U B).10.先把长为/的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？11.甲、乙 丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是0.4。又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为0.2；若
4、恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为0.6；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：(1)飞机坠毁的概率；(2)若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？1 2 .今 有9门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为0.6。(1 )同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；(2 )欲以99%以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？1 3.某工厂有职工4 7 4 5名，每名职工生日在一年中某一天的概率为1/36 5,试求下列事件的概率：(1 )恰 有4名职工生日在同一天(A)；(2 )至少有4名职工生日在同一天(8 )?1 4.假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为l-
5、p,且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有5 0%的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p ,4个发动机比2个发动机更为保险？1 5 .设事件A,6,C满足：P(A)=P(B)=P(C)=1 /4,P(AC)=1 /8,P(AB)=P(BC)=0试求A,8,C三事件至少有一发生的概率？1 6 .某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为1 2%,乙市全年雨天比例为9%,甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为1 6.8%,试求下列事件的概率：（1 ）甲、乙两市同为雨天；（2 ）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（3）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？1 7 .某地以英文字母及阿拉
6、伯数字组成7 位牌照。试求下列事件的概率：（1 ）牌照的前2位是英文字母、后 5 位是阿拉伯数字（A ）;（2 ）牌照中有2位是英文字母、另外5 位是阿拉伯数字（8 ）?1 8 .甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？1 9.平面上画有平行线若干、其间距交替地等于1.5 厘 米 及 8厘米。今任意地向平面投掷一半径为2.5 厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？2 0 .甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候1 0 分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的
7、概率？2 1 .平面上画有距离为a（a 0）的平行线若干条。今向此平面任意投一长为/（/a）的小针。试求小针与平行线之一相交的概率?22.若A,B相互独立，贝1（1）A,月独立；（2）3,8独立；（3）A,B独立。23.当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？24.掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？25.设 事 件 的 概 率 分 别 为:和g,试求下列三种情况下尸（彳8）的值：（1）A与 8互斥；（2）Au 8；（3）P（A6）=826.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1,2,3的概率？27.袋中有1 2个球
8、，其 中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？28.将10本书随意放在书架上，求：其中指定的5本书放在一起的概率?29.甲、乙二班共有70名同学，其中女同学4 0名，设甲班有30名同学，而女生15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？30.设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.102,0.3,从 这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求：取得正品的概率？31.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉
9、，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的25%,35%,40%,各车间成品中次品分别为各车间产量的5%,4%,2%,今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？32.有产品100件，其 中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？33.100人参加数理化考试，其结果是：数 学10人不及格，物理9人不及格，化 学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有 4 人，三科都不及格的有2 人。问全部及格的有多少人?34.两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是0.05,
10、第二台机器的产品次品率是0.02o两台机器加工出来的零件放在一起 并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件,求:此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产的概率？35.有 枪 8 支，其中5 支经过试射校正，3 支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是0.8;未经校正的枪，击中靶的概率是0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？36.某射手射击一发子弹命中10环的概率为0.7,命 中 9 环的概率为0.3。求：该射手射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率？37.设 4 匚民/5(
11、4)=0.1,75(8)=0.5,试求：P(AB),P(AU8),P(彳 Um 及P(A|B)38.已 次 口 P(4)=O.7,P(4 3)=0.3,求：P(AB)39.某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p,如果在比赛中他试举三次，求：他打破世界纪录的概率?40.工厂生产的某种产品的一级品率是4 0%,问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于95%?41.假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于0.9 6,问该单位有多少人？42.从5双不同尺码的鞋子中任取4只，问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？43.仪
12、器中有三个元件，它们损坏的概率是0.1,并且损坏与否相互独立。当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.25;当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6;当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.9 5;当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？44.在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是0.1,0.2,03,已知三个人中某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？45.在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求：正好查完22个零件时，挑全了 8个次品的概率？46.设事件A与8相互独立，两事件中只有A发生及只有8发生的概率都是L求P（A）
13、与P（B）第二章随机变量及其分布1.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻,每个设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻：（1）恰 有2个设备被使用的概率？（2）至少有3个设备被使用的概率？（3）至多有3个设备被使用的概率？2.设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数X不超过3的概率？3.设x的分布律为X012P0.30.60.1求x的分布函数?4 .设随机变量X的分布函数为F（x）=A +8 a r c t a n x,（-8 x 1 00）；（2）若要P X x 0.1 ,则x应在什么范围
14、内？2 I-26 .设随机变量X的 概 率 密 度 为=x ,求X的0 其它分布函数?x 0 x l7.设随机变量X的概率密度为：/（x）=2-x l x 2 求X的0 其它分布函数？0 x08.设连续型随机变量X的分布函数为F（x）=奴2 0%1试求：（1）系数攵；（2）X的概率密度；（3）P 0.3X 1.3 9.设随机变重x的分布函数为E（X）=O2L251O5_X-X试求：（1）x的概率密度；（2）x落 在（3,6）内的概率?10.随机变量X的概率密度为/（幻=履的,（-8X+00）,试求：（1）系数k;（2）pOx 1 00/（x）=1 X20 x 1 00设某仪器内装有三个这样的电
15、子管。试求：（1）试用的最初150小时内没有1个电子管损坏的概率；（2）这段时间内只有1个电子管损坏的概率？1 2.设随机变量x的分布律为X-10123P1/121/41/61/125/12试求：（1）y=2x+i的分布律；（2）y=（x-1尸的分布律?1 3.设x的概率密度为/“）=片。乃，求丫=工仃的概率密o 其它度？1 4.设随机变量x在（0,1）上服从均匀分布，试求：（l）y=e、的概率密度；（2）y=-2InX的概率密度？15.设随机变量x在区间-工二 上服从均匀分布。求随机变量_ 2 2.y=cosx的概率密度？16.设随机变量X N（0,l）。试求：丫 =eX；y=|X I的概率
16、密度？17.设随机变量X N（O,1）。试求：丫 =2X2+1的概率密度？18.设电流/是一个随机变量，它均匀分布在91 1安之间。若此电流通过2欧的电阻，试求功率W=2/2的概率密度？19.设随机变量X的概率密度为了（X）,求y=x 3的概率密度；若随机变量x服从参数为2的指数分布，求y=X3的概率密度？20.某种商品一周内的需要量x是一个随机变量，其概率密度为/（刈=卜、设各周的需要量是相互独立的，求：（1）两周；（2）0 x 3；(2)使 PX c的？注：0(0)=0.5,0(1)=0.8413,0(2)=0.9772,=0.9987,(4)=0.999923.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记x为两颗骰子出现的最大点数，试求x的分布律？24.某批产品的次品率为1/4,现对这批产品进行测试，以X表示首次测得正品的测试次数，求x的分布律？25.设连续型随机变量x的概率密度为,/、fc(x-x2)0 x l”吗0其它试求：(1)常数c；(2)P 0X 0.5；(3)X的分布函数？26.电话总机在1小时内平均接到6 0次呼唤，试问在3 0秒内1次呼唤也没有接到的概率有多大？27.对
