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1、反比例函数用处多长期以来，我们对初中阶段所学习的三类函数：一次函数、二次函数、反比例函数中的二次函数情有独钟，实行了大量的研究和探讨，开拓了很多有新意的好题.但往往忽略了反比例函数在教与学的过程中的作用，导致很多高中学生在处理诸如求函数值域、解简单的分式不等式、讨论函数的单调性的问题时出现很多不应有的烦琐与错误.现代教育理论告诉我们：只有用最接近学生的认知水准的方式引导他们，才能使其更有效学好新知识、解决新问题.通过近几年的教学实践，我认为在初、高中函数教学的衔接处，增强反比例函数应用的教学，无论是协助学生掌握“数形结合”的思想方法，还是引导学生在处理问题时避免不必要的繁杂计算方面都是大有裨益
2、的.一、利用反比例函数处理与不等式相关的问题：问题 1.解不等式：-2x1 3，对于此问题很多高一学生都采用各边取倒数的方式,但误解为：x|21-x31.若转化为虽可解，但有一定的计算量.若利用反比例函数 y=x1的图象来处理则极易得到准确答解 x|x 21-或 x31.如图（1）.类似地还可解：-31-x2x4-3 1-x314-41-x33，令 x-1=t 则可得：t 1x|x 2.问题 2.若 ab，且ab0 时，则a1b b-a0时a1b，则a1-2 x1 3 y|y -512或 y0.问题 4.求函数 y=1-xx122x22x的值域.分析：函数y=1-xx122x22x可变形为，y
3、=2-1-xx12，令 t=x2+x-1-45，利用反比例函数 u=-t1，可得 u54或 u0，从而可得 y|y 514或 y2.问题 5.已知函数 y=1xax2b的值域为-1，4，求 a、b 的值.分析：（1）当 ax+b=0时，y=0满足条件；（2）当 ax+b0 时，令 ax+b=t，x=ab-t（由已知 a0，否则由上述问题3 知其值域不可能是-1，4），则 y=btb2ataba2bt-tta2222222，u=tbat22-2b（-，-22ba2-2b 22ba2-2b，+），利 用 反 比 例 函 数 y=ua2可 得y 2bba2a-222，2bba2a222 2bba2a
4、-222=-1 且2bba2a222=4a=4 且 b=3.此种解法虽然计算量大一些，但学生易于理解，便于掌握.若用判别式法，虽然计算量小一些，但转化生涩，学生不易理解，且还要考虑检验端点、分二次项的系数是否为零来分类讨论等繁杂步骤.再如求函数y=12xx1x2的值域用此法极易求得：y2121-，.一般来说，对于求形如：22221121cxbxacxbxay（a1、a2不同时为 0）的函数值域的问题，若a1=b1=0 时即为上述问题 3 型；若 a1a2=b1b2时即为上述问题 4 型；若 a1=0 时即为上述问题 5 型（利用函数 y=x+xa，a 0 的单调性）；若 a10，则可先分离常数后转化为问题5 型求解.三.利用反比例函数讨论函数的单调性问题 6.若函数32yxax在（-，-3）上单调递减，求a 的取值范围.分析：3x3a-2a32yxax，将其与函数 y=xk的单调性类比知a0，由于 u 是 t 的减函数函数23y22xxxx的单增区间即为 t=x2+x+2的单减区间，故 x（-21-，为所求.另外利用反比例函数y=xk（k0）图象的平移变换，还易得函数dcxbaxy的单调区间为（-，-cd），（-cd，+）；值域为yy R|yca；对称中心为(cd-，ca)等结论.
