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1、数列求和方法【考点导读】对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法能够迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：（1）公式法：等差数列的求和公式；等比数列的求和公式（2）分组求和法：在直接使用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再使用公式法求和（如：通项中含n(-1)因式，周期数列等等）（3）倒序相加法：如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这个求和方法称为倒序相加法。特征：112nnaaaa（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等
2、比数列的对应项相乘（或者相除）所组成，此时求和可采用错位相减法。（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项之和变成首尾若干少数项之和。常用类型：11111nnnn2121121nnnn2112112112121nnnn3131131nnnnnnnn-1112121111211nnnnnnn一分组求和法：例 1.求和：nn53253-453-22-1-练习：1.求和naaan2122.（2011 年山东高考）在等比数列na中，321,aaa分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且321,aaa中的任何两个数不在下表的同一列。第一列第二列第三列第一行
3、 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18（1）求数列na的通项公式（2）若数列nb满足nnnnaabln1，求数列nb的前n2项的和nS23.等差数列na的公差不为零，5214,7aaaa成等比数列，数列nT满足条件naaaaTn2842，则nT4数列，1617815413211的前n项的和。二倒序相加法求和例 1、求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnC
4、nS)22()22()22()22(2:)2()1(210有nnnnnnnnCCCCnS2)1()1(210等式成立例 2.已知函数221xxxf,求4321213141fffffff=练 习1 已 知函 数xf对 任 意Rx，都 有xfxf11，则321012ffffff=_.三错位相减法求和例 1.已知等差数列na满足10,0862aaa（1）求数列na的通项公式（2）求数列12nna的前n项和练习 1.设数列na的前n项和为22nSn，nb为等比数列，且112211,baabba（1）求数列na和nb的通项公式（2）设nnnbac，求数列nc的前n项和nT练习 2.已知函数02abxax
5、xf的导函数72xxf，数列na的前n项和nS，点NnSnPnn,均在函数xfy上。（1）求数列na的通项公式及nS的最大值答案82nan当43或n时，nS取最大值（2）令nanb2，其中Nn，求数列nnb的前n项和。练习 3设nS为数列 na的前项和,已知01a,2nnSSaa?11,nN()求1a,2a,并求数列 na的通项公式;()求数列 nna 的前n项和.练习 4.nS为数列 na的前项和,对于一切正整数n，点nSn,都在函数422xxf的图像上。（1）求数列 na的通项公式。（2）设nnnaab2log，求数列 nb 的前n项和nT四裂项相消法求和例 1.（2013 年新课标一文科
6、17）已知等差数列na的前n项和nS满足5,053SS（1）求数列na的通项公式（2）求数列的前12121nnaan项的和。练习 1.已知等差数列na满足26,7753aaa，na的前n项和nS（1）求na及nS（2）令Nnabnn112，求数列nb的前n项和nT。答案14 nnTn练习 2.211543143213211?nnnSn=练习 3已知等差数列公差为d，且 an0，d0，则1a1a21a2a31anan1可化简为()A.nda1a1ndB.na1a1ndC.ndaad11D.dnaan1111练习 4 数列 na 的前 n 项和为nS，且满足11a，2(1)nnSna.（1）求 na 的通项公式；（2）求和 Tn=1211123(1)naana.练习 5（2013 年高考大纲卷（文）等差数列na中,71994,2,aaa(I)求na的通项公式;(II)设nnnab1求数列nb的前n项和。练习 6.在数列na中，1131211nnnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项和。9(2013 江西高考)正项数列 an 的前 n 项和 Sn满足：S2n(n2n 1)Sn(n2n)0.(1)求数列 an的通项公式an；(2)令 bnn1n22a2n，数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的nN*，都有 Tn564.
