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1、第 六 章 数 列第一节数列的概念及简单表示核心素养立意下的命题导向1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养.2.与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养.3.与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养.基础 在微点清障中全面落实 理清主干知识1.数列的有关概念(1)数列的定义：按 照 二 底 排 列 的 一 列 数 叫 做 数 列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3
2、)数列的前 项和：数列%中，S,=m+a2+即 叫做数列的前项和.2.即 与 S”的关系若数列 明 的前n项和为S,则=S i 93.数列的通项公式与递推公式(1)通项公式：如果数列 “的 第 项%与 庄 里 L之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列%的 第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一 项“与它的前一项即t(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间递增数列斯+仑。其中的大小关
3、系递减数列分类常数列 澄清盲点误点一、关键点练明1.（观察数列求通项公式）数 列1,3,6,10,15,的一个通项公式是（）A.斯=2 -（-1）B.。=/一1心+1）心 T）C.an 2 D一 2解析：选C 观察数列1,3,6,10,15,可以发现：1=1,3=1+2,6=14-2+3,10=1+2+3+4,所以第 项为 1+2+3+4+5+=所以数列1,3,6,10,15,的一个通项公式为斯=绊22.（观察图形求通项公式）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式=.16解析：由 ai=l=5X l4,02=6=5X2-4,03=11=5X3-4,归纳得。=5 一答案：5
4、/143.（利用递推公式求项）数列 斯 中，。1=2,且斯+1=；。-1,则4=.1 3解析：由 at=2,。+1=3斯-1,得 意=0,。3=-1,04=2-答案：V4.（由S”求斯）已知数列 为 的前项和为Sn=2 n,则数列 为 的 通 项 公 式 是.解析：当时，a“=SS-i=2-2（-1）=2;当=1 时，a=Si=2,所以 a”=2.答案：。=2二、易错点练清1.(忽视 为正整数)在数列一1,0,中，若斯=0.0 8,贝()=()A.1 B.8 C 尚或 10 D,1()一2 5解析：选 D 由题意可得下-=().0 8,解得=10或=5(舍去).2.(忽视数列是特殊的函数)若%
5、=层-5 +3,则当=时，飙取得最小值.解析：%=25 +3=(-5一号，VnEN*,当 =2 或 3 时,。最小，。2=。3=-3.答案：2 或 33.(忽视对=1 的验证)已知数列 斯 的前项和S=2-2,则”,尸.解析：当 2 2 时，斯=5-S-i=(22)一(I)?-2 =2-1;当=1 时，ai=Si=l 2=1,不满足上式.故斯=-1,72=1,2M1,22.答案:-1,=1,2nL 2 2能力-在题点全析中补齐短板考点一 利 用 飙 与 S,的关系求通项 典例 已知S=3+2+L 则%=.(2)设 S,是数列 斯 的前 项和，且“1 =1,an+l=SnS+l,则 S,=,解析
6、(1)因为当=1 时，”i=Si=6;当2 2 时，0=5S-i=(3,+2/i+l)3-1+2(n1)+1=23-1+2,由于a i不适合此式，所以a6,n=l,2-3,-1+2,心 2.(2)Un+1 Sn+1 Sn f Cln+S“S+1,S,+iS-SS+i,戏=T，.t是首项为-1,公差为一 1 的等差数列.-1+(-1)X(-1)=一%:S n=6,=1,1俗 案】2 A+2,42 七 方法技巧1.已知S,求 斯 的 3 步骤(1)先利用s=S i 求出a t；用 n-1 替换S,中的得到Si,利用a.=S“-便可求出当”2 2 时许的表达式；(3)注意检验n=l 时的表达式是否可
7、以与 2 2 时的表达式合并.2.S“与斯关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.(1)利用斯=SS“-i(，2)转化为只含S“，S“-i 的关系式，再求解.(2)利 用 S“-5“-1=斯(2 2)转化为只含a0，a,1 的关系式，再求解.针对训练1.(多选)数列 斯 的前项和为S“，若”|=1,%+i=2S“(G N*),则有()A.S,=3-iC.a=2-3n-1解析：选 ABD=2 S -i,两式相减，可得 +1=3”，1,n=l23-2,心 2由题意,数列 斯 的前“项和满足斯+i=2S(G N*),当 2 2 时，a,可得 G+Ia=2(SS T)=2
8、 ,即 竺 1=3(22)又由 ai=l,当 n=l 时，a i=2S=2a =2,所以=2,1,=1,所以数列的通项公式为a =t，-,、12-3 2,22;a.231当时，Sn=3 I又由n 1时，S i=i=l,适合上式，所以数列。的前项和为S=3r；又由-=*=3,所以数列 S,为公比为3 的等比数列，综上可得选项A、B、D 是正确的.2 12.若数列 的前M项和S=+3，则 斯 的通项公式为a=.2 1解析：当=1 时，fli=Si=即 ai=l;当2 2 时，an=S,-Sn-2-3-2一32故 斯 是首项为1,公比为一2 的等比数列.故斯=(-2)门.答案：(一2尸3.设数列。满
9、足 1+32H-F(2/z1)”=2，贝！J 斯=.解析：因为。1+3叫+(2-故当2 2 时，0+32+(23)a“-i=2(-1).2两式相减得(2-1)斯=2,所以又由题设可得母=2,满足上式，从而%的通项公式为答 案:尚考点二利用数列的递推关系求通项 典题例析(1)(2021湛江模拟)在数列 a,中，已知“1=2,fln+1=3 +l(n G N)则斯的表达式为)2口 2A斯=元=3 B =而 石22C”=4+3 D，a=2-l(2)设数列 斯 中，a i=2,a+i=a+n+b 则即=.(3)在数列 斯 中，ai=L a“=a-i(2 2),则数列 呢 的通项公式为(4)若 田=1,
10、a+i=2an3,则通项公式或=.解析 数列 斯 中，由 田=2,即+产五*7(GN*),可得一=3+；,斯+1 斯所 以 数 列 是 首 项 为:，公差为3 的等差数列，“1 1.6/1-5所以=7+3(-1)=2可 得 一 式 N*).故选B.(2)由条件知 即+i-则。=(。2 1)+(的-。2)+(。4 3)+3。-1)+访=(2+3+4+)+2=2+22-(3)V 22),.一2-3 1:.即T =_ 即-2,即-2=_ 2即-3 。2=5。1以上(一1)个式子相乘得1 2 -1 Q 1 12 3 n n n当 71=1时，fli=l,上式也成立.a=1(N*).(4)由 m+1=2
11、。“-3,得 +i-3=2(。-3).所以数列 斯一3 是首项为-2,公比为2 的等比数列，则。一 3=-2 X 2 -i,即。=2+3.【答案(DB(2)”+；+2 (3)即=/(GN*)(4)2+3 方法技巧 由递推公式求通项公式的方法方法适用类型要点累加法an+i=an+f(n)9 变形为an+an=f(n)利用恒等式。=。1+（。2-。1）+（03一。2）+（an art-i）（n 2,N*）求解累乘法an+i=jtn)a n,变形为誓1a=J E)利用恒等式%=谓皆一0心2,d。2 an-”G N*）求解待定系数法+i=p a n+q(pW O 且g K O,n G N*)变 形 为
12、a +i+f=p（a“+t）（可用待定系数法求/）,可得以p为公比的等比数列%+4的通项公式，进而可求4“取倒数法 p a /a%+1一的+，8 心 是常数)变形为1 一=2：+/。+1 p a”P若p=r,贝！1 尚 是 等 差 数 列，且公差为先可用公式求通项；若 p W r,则转化为an+=san+t型，再利用待定系数法构造新数列求解赋值法a +la i+3的+n an=f(n)由“1+2a 2+3内+。=75)，得 田 +2 2+3的+(-1)%-1=/(一1)(心 2),再由一可得斯(注意对n=l的情况进行讨论)针对训练1.已知在数列%中，也=3,且点尸“(a,即+i)(G N)在直
13、线4 x-y+l=0 上，则数列%的 通 项 公 式 为.解析：因为点尸”(即，a+i)(CN*)在直线4 x y+l=O 上，所以4 a“一a“+i+l=O.所以“+i+；=4(a“+；).因为 z i=3,所以 a i+；=.故数列卜,+上 是首项为号，公比为4的等比数列.所以“+9=乂4-|,故数列 呢 的通项公式为a =y X 4-1-1.答案：a =y X 4n-112.根据下列条件，求数列%的通项公式.(l)a i =b 即+i=+2(N*)；(2)。1 =1,2/皿 +1=(+1)。”5 c N*)；(3)。1 =1,。=3。一 1+4(22).解：(1)由题意知斯+1-斯=2
14、，Q=(a-。2)+(2-勾)+。1_ 1-2=2-1+2 厂 2H-1-2+1=-7=2L12,t t n W I 1(2)由 2n an+i=(n+l)an 9 得 T-U F J缶斯-1ai n 1 1 2 2 na a,i-Y an-i an-i 2(一 1)2(-2)2(-3)2T 2M-p(3)因为 an=3a,i-1+4(/i 2),所以 +2=3(。“一 +2).因为勿+2=3,所以 斯+2 是首项与公比都为3 的等比数列.所以+2=3 ，即%=3”2.考点三数列的性质考法(一)数列的周期性 例 1 在数列。中，a9 aw=l N ),则 02021 的值为()A.I B.5C
15、1D1解 析 因为在数列%中，=1一一L(,2,GN),q dn-1 1 4 1 1所以。2=-=5,3=1g=g,4=1-4=-4 4 5所以“是以3 为周期的周期数列，所以“2 021=0673X3+2=42=5.答案 B 方法技巧1.周期数列的常见形式(1)利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；(2)相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；(3)相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.2.解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.考法(二)数列的单调性 例 2 (2021广
16、州模拟)已知数列 斯 满足ai=2,2aa+i=+i,设 瓦=言 百，则数列4 是()A.常数列 B.摆动数列C.递增数列 D.递减数列 2%+=a%+1,.a”+i._%-1.b na,.+V.,%+iT 薮+)一 (T P 小累苏；%+1 尸.7 a i=2,.-.*,=1=1=1，历=o 岳=(提=0,儿=映卜朋.数列 九 是递减数列，故选D.答案 D 方法技巧解决数列的单调性问题的3 种方法(1)用作差比较法，根据知+1%的符号判断数列%是递增数列、递减数列或是常数列.(2)用作商比较法，根据誓 即0或许 0)与 1 的大小关系进行判断.(3)结合导数的方法判断.考法(三)数列中的最大(小)项 例 3 已知数列 为 的通项公式为斯=爷 则 数 列 中 的 最 大 项 为.r施垢 1 注一 _ 9由(+2)9(+1)9 8一 LWWJ/斯+1。一 0+i 0 IO。0 9当n 8时，。“+1斯 0,即即+1 斯；当 n=8 时，。+1一。=0,即即+i=a；当 8 时，+即。+v.则3V。8,。8=。9,，故数列 中的最大项为第8 项和第9 项,98 X 9 99且 8=。9=0
