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1、 高中数学题库高中数学题库 1.求下列函数的值域：解法 2 令tsinx，则f(t)t2t1，|sinx|1,|t|1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m万千米和m3
2、4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和，求该慧星与地球的最近距离。解：解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(cF 处，椭圆的方程为12222byax（图见教材 P132 页例 1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只能满足)3(3/xFAxFA或。作mFAFBOxAB3221B，则于 故由椭圆第二定义可知得)32(34)(22mccaacmccaacm 两式相减得,23)4(21.2,3231cccmcamacm代入第一式得.32.32mccamc 答：彗星与地球的最近距离为m32万千米。说明：说明：（1）在天体运
3、行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ca，另一个是.ca（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3.A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6Km，C 在 B 正北偏西30，相距 4Km，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地远，因此 4s后，B，C 才同时发现这一信号，此
4、信号的传播速度为 1sKm/，A 若炮击 P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书 P249 例 2）解：解：如 图，以 直 线 BA 为x轴，线 段 BA 的 中 垂 线 为y轴 建 立 坐 标 系，则)32,5(),0,3(),0,3(CAB，因为PCPB，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上。因为3BCk，BC 中点)3,4(D，所以直线 PD 的方程为)4(313xy （1）又,4 PAPB故 P 在以 A，B 为焦点的双曲线右支上。设),(yxP，则双曲线方程为)0(15422xyx （2）。联立（1）（2），得35,8yx，所以).35,8(P因此33835PAk，故炮击的
5、方位角北偏东30。说明：说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22ppyx。将 B（4,-5）代入得 P=1.6 yx2.32船两侧与抛物线接触时不能通过 则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得 yA=-1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米 所以 h=yA+0.75=2 米 答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2
6、 米时，小船开始不能通行 思维点拔思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。5.如图所示，直线1l和2l相交于点 M，21ll，点1lN，以 A、B 为端点的曲线段 C上任一点到2l的距离与到点 N 的距离相等。若AMN为锐角三角形，6NB,3,17且ANAM，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程。解：以直线1l为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点。设曲线段 C 的方程为)0,)(0(22yxxxppxyBA，其中BAxx
7、,为 A、B 的横坐标，MNp，所以)0,2(),0,2(pNpM，由3,17ANAM，得172)2(2AApxpx （1）92)2(2AApxpx （2），（1）（2）联立解得pxA4，代入（1）式，并由0p 解得2214AAxpxp或，因为AMN为锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp，所以14Axp 由点 B 在曲线段 C 上，得42PBNxB，综上，曲线段 C 的方程为)0,41(82yxxy 思维点拔思维点拔本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6.设抛物线)0(42aaxy的焦点为 A,以 B(a+4,0)
8、点为圆心，AB为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点 M，N。点 P 是 MN 的中点。（1）求AM+AN的值（2）是否存在实数 a，恰使AMAPAN成等差数列？若存在，求出 a，不存在，说明理由。解：(1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M,N,P.AM +AN =MM +NN =xM+xN+2a 又 圆 方 程16)4(22yax 将axy42代入得08)4(222aaxax axxNM42得AM+AN=8(2)假设存在 a 因为AM+AN=MM+NN=2PP 所以AP=PP ，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。7.抛物线
9、022ppxy上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为焦点，若BFMFAF,成等差数列（1）求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q（2）若6,4OQMF（O 为坐标原点），求抛物线的方程。（3）对于（2）中的抛物线，求AQB 面积的最大值。解：（1）设002211,yxMyxByxA，则21pxAF，22pxBF，20pxMF，由题意得2210 xxx，AB的中点坐标可设为tx,0，其中 0221yyt（否则0pBFMFAF），而222121212121yypyyxxyykABtpyyp212，故AB的 垂 直 平 分 线 为0 xxptty，即00yppxxt，可知其过定点0,0pxQ（2
10、）由6,4OQMF，得6,4200pxpx，联立解得2,40 xpxy82。（3）直 线 AB：24xtty，代 入xy82得0162222ttyy，2212212214644tyyyyyy，221222116yytxx,16422tt221221yyxxAB22161621tt 425621t，又点0,6Q到AB的距离216td，dABSAQB21241625641tt64216256409641ttt 令642162564096tttu，则53664512tttu，令0 u即066451253ttt，得0t或162t或3162t，3162t334t时6964AQBS。思维点拔思维点拔设而不
11、求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线)22tan(:xyl交椭圆9922 yx于 A、B 两点，若为l的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y，得09tan72tan236)tan91(2222xx 2222122tan916tan6)tan91(tan1tan1xxAB 由33tan33,31tan,22得AB，的取值范围是,656,0 思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan给出，所以可以认定2，否则涉及弦长计算时，还要讨论2时的情
12、况。9、已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于 A、B 两点（1）求证：OBOA（2）当OAB的面积等于10时，求k的值。（1）证明：图见教材 P127 页，由方程组)1(2xkyxy消去x后，整理得02kyky。设),(),(2211yxByxA，由韦达定理得121yy BA,在抛物线xy2上，212221222121,xxyyxyxy OBOAyyxxyyxyxykkOBOA,112121212211（2）解：设直线与x轴交于 N，又显然,0k令），（，即则01N1,0 xy 2121212121yyONyONyONSSSOBNOANOAB 4)1(214)(121221221kyyyy
13、SOAB 61,412110,102kkSOAB解得 思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范围。解设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称，直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入 y2=4x 得：y2+4ky-4m=0，设 B（x1，y1）、C（x2，y2），BC 中点 M（x0，y0），则 y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，点 M（x0，y0）在直线上。-2k（2k2+m）+3，m=-kkk3223又 BC 与抛物线交于不
14、同两点，=16k2+16m0 把 m 代入化简得0323kkk即0)3)(1(2kkkk，解得-1k0 即 m2-k2-90，b0）的值是最大值为 12，则23ab的最小值为（）A625 B38 C 311 D 4 答案：答案：A 解析：解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时，目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6,而23ab=23 23()6abab13()6baab1325266，故选A 点评：点评：本题综合地考查了线性规划问题
15、和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知 2a+3b=6，求23ab的 最小值常用乘积进而用基本不等式解答 13、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 03 万元和 02 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元 答案：答案：70 解析解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告
16、的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得3005002009000000.xyxyxy，目标函数为30002000zxy 二元一次不等式组等价于3005290000.xyxyxy，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 如图：作直线:300020000lxy，即320 xy 平移直线，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 联立30052900.xyxy，解得100200 xy，点M的坐标为(100 200)，max30002000700000zxy（元）点评点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一 14、设a为实数，函数2()2()|f xxxaxa(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求()f x的最小值；(3)设函数()(),(,)h xf x xa，直接写出(
