考研数学复习-经济应用

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1、第十三讲经济学中的若干数学问题一、考试基本要求1、了解导数的经济意义(含边际与弹性的概念)。2、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。3、掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。4、会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。二、基本内容(一)、微积分在经济学中的应用1、极限在经济学中的应用(1)复利：经济学中一个基本概念，它是指按本金计算的每个存款周期的利息在期末加入本金，并在以后的各期内再计利息。设某银行年利率为r,一年支付n次，初始存款为P元，则t年后在银行的存款余额为A =尸(1+-)H，on称(1+-)n-1 x 1 0 0%为年有效收益，银行称之为票面率。n由于l im (l

2、+2y r =e ,该式表示当初始存款为1元，且每T8 n年支付次数趋于无穷时，称t年后存款余额为按连续复利计算得到的存款余额。因此，当初始存款为P,年利率为一 则按连续复利计息t年后的存款余额为Per,o现实世界中有许多事物的变化都类似于连续复利，如放射性物质的衰变、细胞繁殖等。(2)将来值与现值：现存入10 0元，按年利率为r计。若以年复利方式获得利息(即以年为计息基本单位，每年支付一次本息)，那么一年后存款为10 0(1+r)元。因此可以说今天的100元相当于一年后的存款100(1+厂)元，称这100(1+一)元是100元的将来值，而 100元是100(1+r)元的现值。一般地，称尸元存

3、款的将来值为8 元是指将来指定时刻原尸元加上利息后正好为8 元。年利息为厂，尸元存款按连续复利计算，现值与将来值关系为B=PeP=Be2、利用导数求解经济应用问题“边际”、“弹性”成本函数：c=c1+c2总收益函数：R=R(Q)=P(Q)Q利润函数：L=R-C弹性：力 二，“导数”x“倒数”Ex dx y反映随X 的变化函数/(x)的变化幅度的大小，即/(x)对X 的变化所反映出的强烈程度或灵敏度。两点间的弹性是有方向的。需求弹性：需求。对价格尸的弹性，常用(尸)表示n(p)=r(p)f(p)用需求弹性分析总收益的变化R=PQ=P f(P)R=f(P)+Pf(P)=/(尸)(1 +八 户)乐)

4、=/(?)(1-7)、若 1R H递减、若7 7 =1=0=宠取得最大值总收益的变化受需求弹性的制约。3、利用定积分求解经济问题4、利用最优化原则求解经济应用问题经济系统必须遵循系统学的最优化原则。这里，主要是指经济学中的无约束极值问题与有等式约束的极值问题。三、典型例题例I、若你买的彩票中奖100万元，你要在两种兑奖方式中选择。假设两种方式都从现在起支付，一种方法是分四年支付，每年支付25万元；另一方法是一次付清92万元。设年利率为6%,以连续复利计息。如果不纳税，那么你选哪一种兑奖方式合算？设选择要使总现值尸最大的方法。第一种方法的总现值为尸=25+25产+25/侬2+2 5 V=25+2

5、3.5411+22.1730+20.8818=91.5989因此选择一次付清92万元的方式合算。例2、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假设1 =0)就出售,总收入为火。(元)，如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，年末总2 n收入为R=假设银行的年利率为r,并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求=0.0 6时的/值。根据连续复利公式，这批酒在窖藏看年末售出总收入R的现值为AQ)=Re-V7-4t-rt而 R=R e5=A)=R e5=R e5-r)=0 t 为唯一驻点dt 0 5&0 25/d2ARedt2 d2Ar0=R d(_ 1 2.5/)0)o试证明(1)lim

6、Q(x)=Q,(2)limQ(x)=AminK,LX-0XT+00(1)因为 In e(x)=In A In 觉-x +(1 8)LXn3K-x+(1-3)Lx 一 HLlnK (1 S)ZTlnLlim-3。欹,+(1-5)厂=-3K-(l-3)nL =ln(KZi)所以limlnQ(x)=nA+ln(K )=ln(A K)nlimQ(x)=A K L =。x-0(2)当minK,L=K f lim =0,XT+OO RI n修+(1-6)厂 -6 K X I n A：-(1 -)Z TX I n Ll i mim -=im -x +c ox-+o o 8 K X+(-3)17l i mX

7、f+00b+(l b)因而当minK,L=K n limQ(x)=AKX+co同理可证当minK,L=L=limQ(x)=ALX-+8因此有 limQ(x)=AminK,L例 4、某商品进价为Q （元/件），根据以往经验，当销售价为8（元4/件）时，销售量为c 件（。,4c 均为正常数，且8 2。），市场调3查表明，销售价每下降1 0%,销售量可增加4 0%,现决定一次性降价。试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。解 设p表示销售价，X表示销售量，需求函数为x=kP +m则由题设有c=kb+m 4c=k=-,m=5 c1.4 c =0.9 船 +m b即 x=-p +5 c

8、,或 p=-b-xb 4 4c利润函数为L（x）=px-ax=-bx-x2-ax4 4c&、_5 b _ _（5b-4a）c L（X）=b-a-x =0 xn=-4 2 c 2b由问题的实际意义或L（X o）0)；(2)推 导 先 (1 约)(其中R为收益)，并用弹性自说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。JD D(2)由1 (3,得一=Q +PQ=Q(1+T；Q)=Q(1 E JdP Q又由 Ed=-=1,得 P=1 0.d 2 0-P当 1 0 P ,于是案0.故 当 1 0 P 2 0 时、降低价格反而使收益增加。例 7、设某商品的需求函数为。=2 0 ，其中。为需求量，P为

9、价格。(1)求需求弹性函数(p);(2)价格P在什么范围内变化时，总收益随P增加而增加；P在什么范围内变动时，总收益随P增加而减少？(3)P为何值时，总收益最大，最大值为多少？(4)在P =4时，若价格上涨1%,总收益是增加还是减少，将变化百分之几？(1)(p)=-0.八一/)=Q 4)4P 8 0-2 万zu 2(2)由关于需求弹性(P)与总收益的关系可知当时，总收益R 随价格p 增加而增加;当（p）l时，总收益随价格p 增加而减少。注意到（1）的结果便知当0 p 0,(1)设A为总收益函数，证 明 二 =。(1一)；dp(2)求P =6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。砥 P)=p

10、 Q(P)n(1)dR _ dQ一 =Q +p*dp dp(2)ER dR p p而R i,办1 9 2-3 p 21 92-p2EREp7=0.5 4片6 1 3经济意义：当P =6时，若价格上涨1%,则总收益将增加0.5 4%例9、设某商品对价格的需求弹性为3,对价格的供给弹性为2,且当价格P =1时，社会对该商品的需求量。与供给量S分别为(1)求该商品在供求平衡时的平衡价格；(2)若价格是时间看的函数，且价格的变化率与超额需求量。-S成正比，与价格p成反比，求价格对/的函数p(f),已知P(0)=P ；(3)求li m p(1)由,-d-D-上p=3c ndD 二3上dpdp D D p

11、因 Z)(l)=D=Z)=Z)p 3；由 竺4=2 =竺=2农dp S S p因 S6 =S=S =S p 2令。=S =Q p-3=s 2=0卜 0厂 厂 g d0 7(2)由题设与(1)的结果知左0为比例系数。即有p4dpDS/kdtP(o)=P D1n，)=W(l-e )+p；e，50D1(3)li mp(t)=e 皿)+=r-+oo ff+oo 001例1 0、设产品的需求函数为0=Q（P）,收益函数R=P。，其中P为产品价格，。为 需 求 量（产品的产量），。（）是单调减少函数。如果当价格为P。对应产量为。时，边际收益dRdQ。=如=收益对价格的边际效应dRdp=c l,求Pn，0

12、0。P=PO PU UdQ注意到=EQp EpdQdpP _QQ_dpdRdQdp、I Q J PdRn dQ=p=aQ=Q（）b由A=pQ nPabdQ华=Q +p华=Q-%-E )dp dp dp，P=Q E =cdp P=P 0 i-b例1 1、一商家销售某种商品的价格满足关系p =7 0.2 x （万元/吨），X为销售量（单位：吨），商品的成本函数是c=3 x +l （万元）（1）若每销售一吨商品，政府要征税（万元），求该商家获最大利润时的销售量；/为何值时，政府税收总额最大。(1)设丁为总税额，则/=沅，又/?=p x =7 x 0.2 LJ R cT=1x 0.2 x 3x tx

13、0.2,x+(4 tx 1由 些=0nx=(4 T)dx 21 2 T又L =0.4 7 =1 0%广2 2=1 0-5 f =0m=2dtd2T 口 八r =-5 15-f(t)0；r 0/=15是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值为e吨/天。(2)Qt)dt=2(45)-2(15)1=-(e 3-e-1)J J x J L例13、设生产某产品的固定成本为10,而当产量为X时的边际成本函 数 为=40 20%+3 ,边 际 收 入 函 数 为=32 1 Ox。试求(1)总利润函数；(2)使总利润最大的产量。(1)总成本函数为C=10+(40-20 x+3)dx=10+40 x-1 Ox+%

14、3总收益函数R=(32-10 x)dx=32x 5总利润函数 L=R C=10 8x+5 4(2)Lx)=3xz 10 x+8=0=x=,x=21 3 2r(x)0,Lff(x)1 n 尸=83 2 Q=4 火2,2）=2。厂6=0 2最大利润为49万元。例14、养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养X（万尾），乙种鱼放养y（万 尾），收 获 时，两 种 鱼 的 收 获 量 分 别 为（3 依 一 例）x,（4-仪 一2y）y,（。尸0）,求使产鱼总量最大的放养数。设产鱼总量为z,z=3x+Ay-ax-2ay-2fixy及-=3-2 c a-2 fy =0dx&=4-Aay-2/3x=0丹_ 3a-2

15、/3 _ 4 a 3/30%2a2 伊尸。-2（2 二伊）为唯一驻点记A=骁=-2a,B=2 p,C=卷=4adx dxdy dy有长 一AC=4夕-8a2 =4（2优-2）0,A0),供给函数QB=-d +cp(c,d 0),且P随时间的变化率与超额需求(。4-且)成正比，求价格函数p=p(t).解 设=MQA-QB)=-k(a+c)p+k(b+d),p(t)L=o=p(0)由一阶线性微分方程的通解公式有p )=J 助+d)+C n C=p(0)n p(t)=(p(0)3)e*+c a+c a+cb+d+-a+c例 1 6 已知某商品的需求对价格的弹性为 =p(l n p +l),且当p=l

16、时,需求量为Q=l.1)试求商品对价格的需求函数；2)当价格pf8 时，需求是否趋于稳定？解 1)由=-p Q =(l n +1),得Q(P)丝=-2(l n p +1)n 丝=-(In p+l)dpdp Q积分得 l n Q=l n C _ p l n p n Q =C p。=Q=p-。2)l i m Q=l i m p”=0 ,需求趋于稳定。(三)、差分方程及其在经济学中的应用1.差分与差分方程的概念 瞬时变化率；效 平均变化率dtX令 加=1=Ay=y(t+Ar)-y(t)=y(t+1)-y(t)可用于近似表示y=y )的变化率。若记y=yQ)为，则当f 取遍非负整数时，称差讨为函数yt的一阶差分,记为 二x -y ；称 一 阶 差 分 的 差 分()为函数的二 差分，有A=似)=yt+l-yt=(y|+2-y J(y)=L-2%+y,一 般 地，阶 差 分 定 义 为 1阶 差 分 的 差 分，即?二(”,1。差分具有线性性质：对任意常数a,尸，(町+仪)=a y+您 z,含有未知函数的差分或表示未知函数在几个时期值的符号的方程称为差分方程。例如下面几个方程都称为差分方程尸 口