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1、奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -2 作者：日期：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3 最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。2通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。3培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数如果一个自然数a 能被自然数 b 整除，那么称 a 为 b 的倍数，b 为 a
2、的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12;18的约数有：1，2，3，6，9，18。自然数naaa,21的最大公约数通常用符号（naaa,21）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3。2.公倍数和最小公倍数如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数
3、的最小公倍数。例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，18的倍数有：18，36，54，72，90，自然数naaa,21的最小公倍数通常用符号naaa,21 表示，例如 12和18的公倍数有：36，72，.其中 36是12和18的最小公倍数，记作 12，18=36。8，12=24，6，9，15=90。3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n个数的最大公约数：（1）必须每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质
4、）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求n个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1 以外的公约数后，在用1n个数的公约数去除，除到1n个数没有除1 以外的公约数后，再用2n个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质为止；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例 1 用 60 元钱可以买一级茶叶144 克，或买二级茶
5、叶 180克，或买三级茶叶 240 克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为 144 克一级茶叶、180 克二级茶叶、240 克三级茶叶都是 60 元，分装后每袋的价格相等，所以 144 克一级茶叶、180 克二级茶叶、240 克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240 的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144，180，240的最大公约数。是144，180，240的最大公约数。所以（144，180，240）=223=12，即每 60 元的茶叶分装成 12 袋，每袋的价格最低是
6、 6012=5（元）。例 2 用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为 498，450，414 除以 a 所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。例 3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是 1111，它们 的公约数一定是 1111的约数。因为
7、1111=10111，它的约数只能是1，11，101和 1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而 101 是可能的，比如取三个数为101，101 和 909。所以所求数是 101。例 4 在一个 3024 的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6 份，即分成 66个相同的矩形，那么每个矩形是由（306）（246）=54（个）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -5 小方
8、格组成。在 66的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过 5 个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的54 个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。例 5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1 分、1 分 15 秒和 1 分 30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60 秒、75 秒和 90 秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90 的公倍数。所求时间为 60，75，90=900（秒）=15（分）。例 6 爷爷
9、对小明说：“我现在的年龄是你的7 倍，过几年是你的6 倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7 倍，说明他们的年龄差是6 的倍数；同理，他们的年龄差也是 5，4，3，2，1 的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2 的公倍数。6，5，4，3，2=60，爷爷和小明的年龄差是60 的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60 岁。所以现在小明的年龄=60（7-1）=10（岁），爷爷的年龄=107=70（岁）。名师资料总结-
10、精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -6 最大公约数与最小公倍数（二）摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。在求 18 与 12 的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=23=6，18，12=2332=36。如果把 18 与 12 的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）18，12=（23）（2332）=（233）（232）=1812。也就是说，18 与 12 的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与 12的乘积。当把 18，12 换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个
11、自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）a，b=ab。二、随堂练习名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -7 例 1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是（672）18=24。例 2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是 1，最小公倍数是 30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是13
12、0=30，和是 11。30=130=215=310=56，由上式知，两个因数的和是11 的只有 56，且 5 与 6 互质。因此改变后的两个数是 5 和 6，故原来的两个自然数是75=35和 76=42。例 3 已知 a 与 b，a 与 c 的最大公约数分别是12 和 15，a，b，c 的最小公倍数是120，求 a，b，c。分析与解：因为 12，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是12，15=60 的倍数。再由 a，b，c=120 知，a 只能是 60或 120。a，c=15，说明c 没有质因数 2，又因为 a，b，c=120=2335，所以 c=15。因为
13、 a 是 c 的倍数，所以求 a，b 的问题可以简化为：“a 是 60或 120，（a，b）=12，a，b=120，求 a，b。”当 a=60时，b=（a，b）a，b a=1212060=24；当 a=120时，b=（a，b）a，b a=12120120=12。所以 a，b，c 为 60，24，15或 120，12，15。要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以
14、这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，6，4，9=36，三种溶液的重量都乘以36 后，变为150，135 和 80，（150，135，80）=5。上式说明，若三种溶液分别重150，135，80 千克，则每瓶最多装5 千克。可实际重量是 150，135，80 的 1/36，所以每瓶最多装在例 4 中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。由例 4 的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：（1）先将各个分数
15、化为假分数；（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；（4）ab即为所求。例 5 求655，852，926的最大公约数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -8 类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；一个陷井。它们之
16、中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2 6 3/10=5（次）。黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了专题练习1.将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是 72。满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -9 部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。专题练习解答1.72120=（7，120）72，120=24360。2.12，72 与 24，36 两组。提示：7212=6=1 6=23，所以有两组：121=12，12 6=72；122=24，123=36。随堂练习解答名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -10 5.等于。6.151 瓶。7.120 米。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共
