数学建模输油管的布置模型

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1、输油管的布置模型摘要为了解决两家炼油厂到地铁站台运送成品油使用管线费用最省问题，本模型根据不同情况，作出相应的输油管的几何布置方案。利用数学中将图形建立直角坐标系的思想、两点间距离公式，采用最优化模型，以及matlab 软件中的最小多变量函数，求出相应的最小值和最小值点，利用比较法得出管线费用最省方案。1、对于问题一，针对共用管线与非共用管线两种情形，设计出两类模型作为最优方案的参考。2、对于问题二，根据数学模型采用车站建在郊区且选择共用管线方法，可计算出最省费用为282.6973 万元。3、在问题三中，车站建在郊区且采用公用管线方法，可计算出最省费用为251.9685 万元。关键字：几何布置

2、最优化模型最小多变量函数比较法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 17 页 -一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域），B 厂位于城区（图中的II区域），两个区

3、域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2 万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送 B 厂成品油的每千米6.0 万元，共用管线费用为每千米7.2 万元，拆迁等附

4、加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 20 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 17 页 -二、问题分析铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。需要管道来进行成品油的输送。本模型的建立需要解决管道线费用问题，尽量使其费用最少，达到最大的经济效益。为了更好解决本问题，将A、B 两炼油厂和车站当做几何点点，车站视为几何直线，建立直角坐标系，输油管的布置的路线在图形中清晰可见，为了使所有费用最省，不仅要考虑到路线最短问题，还要在运输中使用哪种类型管线，以及是否为共用，是否

5、在一些地区还收取附加费，即：当不存在共用管道，A、B 两炼油厂管线费用单价相同和不同情况当存在共用管线时，A、B 炼油厂两地的管线和共用管线价格的不同在存在或不存在共用管道时，考虑某区域收取拆迁和工程补偿等附加费用总上所述，针对不同情形，本模型设计不出方案来满足各种要求。三、模型假设1、甲级资质的工程咨询公司估算的正确率是乙级资质的工程咨询公司的两倍。2、两炼油厂位置不重合，且它们之间的铁路（CD 段）为直线3、忽略输油管接口处所用的多余管线，且管线为直线。4、输送成品油过程中，不受外界因素，比如恶劣的环境突变。四、符号说明mA 炼油厂离铁路的垂直距离nB 炼油厂离铁路的垂直距离sA、B 两炼

6、油厂的距离lAB 线段到铁路的映射即DF 距离Z建立管线总费用d非共用管道费用，单位为每千米/万元e共用管道费用,单位为每千米/万元拆迁和工程补偿等附加费用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 17 页 -五、模型的建立将 A、B 两炼油厂和车站当作几何点，车站视为几何直线，建立直角坐标系，如下模型。5.1 模型一（只存在非共用管线）图一如图一所示炼油厂分别在铁路一侧的A，B 位置，其中到铁路的垂直距离分别为m、n即mAD,nBF,sAB,lDF为了运输送成品油，节省费用，达到经济最大化，需在铁路上寻找出适合位置。图二当 A，B 炼油厂不共用管线时，在铁路线上增建一个车

7、站P,分别连接PA,PB,在运输过程中，因为不共用管线而要达到费用最省，则需两厂到车站距离最短，及PA+PB的值最小。作B点关于DF所在直线对称点B连接PB,BA,其中BA连线与铁路相交于P点 如 图 二 所 示。因 为B是B关 于 点F的 对 称 点。则 有 关 系 式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 17 页 -PB=PB,BPPB，同理PA+PB=PA+PB,在 三 角 形PBA中 两 边 之 和 大 于 第 三 边，即PA+PBBA,由上面的推论结果可知，BPAPPBPA,本模型要求最短距离，则点 P为最优点。图三为了找出上述最优点P，我们不妨以DF为x轴、

8、DA为y轴、D为原点、建立直角坐标系。则有A为),0(m、B为),(nl、D为)0,0(，并设P为)0,(x。对于直角AEB，由勾股定理易得：222BEABAE,由于AE平行并且等于DF。则有222)(mnsl（1）最短距离为：2222)(nxlmxPBPA则总费用：)(2222nxlmxdZ综上所述：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 17 页 -2222222)()(mnslnxlmxdZ（2）对于此模型，m、n、s、d分别表示 A、B 炼油厂到铁路的距离，及两厂之间距离，非共用管道费用，视为固定值，当给出相应的m、n、s、d值。可直接求解。即当mnmnsmx22

9、时，有最小值Z。5.2、模型二（非共用管线与共用管线并用）图四如图四所示，A、B 炼油厂在AQ和BQ路线段时采用非共用管线，相交于Q点时，共用一段垂直管线PQ。图五用跟模型一相同的方法，将图四建立在直角坐标系中，以D 点位原点，DF所在直线为x轴，以 AD 所在直线为y轴，如图五所示。设Q 点坐标为yx,，因为 PQ 垂直于x轴，所以 P 点左边为0,x，其中 Am,0B nl,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 17 页 -由坐标系中两点距离公式可知:22ymxAQ（3）22ynlxBQ（4）yPQ（5）有题设条件可知，非共用管线与共用管线铺设费用分别为d、e，结合

10、（1），（3），（4）,(5)可得出总费用为：2222222)(mnslyeynlxymxdZ(6)同理，此模型中，m、n、s、e、d为固定值，借助 MATLAB 软件的最小化多变量函数(fminsearch)1,就能求出当x、y为何值时有最少费用minZ（附录一）。5.3 车站建在郊区的模型建立表 1 工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 20 由题中假设条件甲级的估算正确率是乙级公司的两倍，则在题中分别占有比例为5.0，25.0，25.0，以及根据加权平均法的思想可以推出：5.2125.02025.0245.021万元由题中所给条件可知a=5，b=8，c=15，l

11、=20，且2.7ed图六当 A、B 炼油厂车站建在 P 点郊区，且不共用管道时，画出大致图像如图六名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 17 页 -A 厂需要付费 AP 段管道费，B 炼油厂付费 BC 段和 CP 段，以及附加费用。同理将图形建立在直角坐标系中。图七设P 点 离 原 点D的 距 离 为1x，各 点 的 坐 标 分 别 为),0(aA，),(blB,)0,(1xP,),(1ycC由两点距离公式可知：2122121221ybclBCycxCPaxAP（7）因为 A 厂需要付费 AP 段管道费，B 炼油厂付费 BC 段和 CP 段，以及附加费用，所以，总费用为

12、：2122121221)(ybcldycxaxdZ将已知值代入，利用MATLAB 软件中最小多变量函数（附录二）得出：5368.2841985.71483.6min11Zyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 17 页 -图八当 A、B 炼油厂车站建在P点郊区，且需要共用管道时，画出大致图像如图六 A 厂需要付费AP段管道费，B 炼油厂付费BC段和CQ段，以及附加费用。以及两厂都付PQ段的共用管道费，将图形建立在直角坐标系中。如图图九设 P 点离原点 D 的距离为2x，),(22yxQ，C 点到x轴的距离为3y，则各点坐标为aA,0，),(blB，)0,(2xP，),

13、(3ycC。同样用两点距离公式得出：2322223222222ybclBCyPQyyxcCQyaxAQ（8）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 17 页 -因为A厂需要付费AP段管道费，B炼油厂付费BC段和CQ段和BC段的附加费用。以及两厂都付PQ段的共用管道费，所以总费用为：2322223222222ybcldeyyyxcyaxdZ将确定值带入则为表达式，同样用MATLAB软件（附录三）得出6973.2823678.78538.14494.5min322Zyyx5.4、车站建在城区的模型建立当A、B炼油厂车站建在P点城区，且不共用管道时，画出大致图像如图六A厂需要付

14、费AP与CP段管道费，B炼油厂付费BP段管道费，以及在城区中的管道费附加费用。根据题意，建立在如下直角坐标系。图十设P点坐标为0,4x，C点坐标为4,yc，根据已知条件aA,0，blB,，分别求出线段:2242424242blxBPyxcCPyacAC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 17 页 -因为 A 厂需要付费 AP 与 CP 段管道费，B 炼油厂付费 BP 段管道费，以及在城区中的管道费附加费用。所以总费用为：2242424242blxyxcdyacdZ用 MATELAB 软件（附录四）得出数据：5973.384015min44zyx5.5、解决实际问题当

15、A、B炼油厂车站建在P点城区，且需要共用管道时，画出大致图像如下图十一的A厂需要付费AP段与CQ段不共用管道费与PQ段共用管道费，B炼油厂付费BQ的非共用段管道费和PQ段共用管道费，以及A、B付费在城区中的管道的附加费用。根据题意，建立在如下直角坐标系。图十一由上图设C点位5,yc，Q点为66,yx则P为0,6x，aA,0，blB,，同理有距离公式有：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 17 页 -6262626526252yPQbylxBQyyxcCQyacAC因为A厂需要付费AP与CQ段不共用管道费与PQ段共用管道费，B炼油厂付费BQ不共用段管道费和PQ段共用管

16、道费，以及A、B付费在城区中的管道的附加费用，所以需要费用：2626265266252bylxyyxcdeyyacdZ代入数据，用 MATELAB 软件（附录五）得出：1472.3055600.65600.615min656Zyyx为了求出管线最佳布置及相应的费用，本题可以借用模型一、二的方法。在实际问题中，由常识可知，当车站建立在城区时，不仅要收取管线费还有附加费用，相对于车站建立在郊区时，费用要多些，所以我们将车站选在郊区的铁路道上。设 A 厂成品油的每千米6.5g万元，输送 B 厂成品油的每千米6h万元，共用管线费用为每千米2.7r万元，拆迁等附加费用为每千米5.21万元当不共用管线时，结合图七，和方程组(7)可知，A厂需要付费AP段管道费，B炼油厂付费BC段和CP段，以及附加费用.即：A厂需付费：221axgB厂需付费：21221221ybclhycxh总费用为：2122121221ybclhycxhaxgZ用 MATLAB 软件中的多变量最小值函数（附录六）求出：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 17 页 -9755.2512709.77529.